Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Inversen der \( A_{k} \) nach der DFP-Formel
\( A_{k+1}=\left(I-\gamma_{k} y_{k} s_{k}^{T}\right) A_{k}\left(I-\gamma_{k} s_{k} y_{k}^{T}\right)+\gamma_{k} y_{k} y_{k}^{T} \)
mit \( \gamma_{k}=\frac{1}{y_{k}^{T} s_{k}} \) die folgende Rekursion gilt:
\( A_{k+1}^{-1}=A_{k}^{-1}-\frac{A_{k}^{-1} y_{k} y_{k}^{T} A_{k}^{-1}}{y_{k}^{T} A_{k}^{-1} y_{k}}+\frac{s_{k} s_{k}^{T}}{y_{k}^{T} s_{k}} \)
Hinweis: Verwenden Sie die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel
* y und s sind Vektoren, A eine Matrix
Sherman-Morrison-Woodbury Formel ist :
\( \left(A+X Y^{T}\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} X\left(I+Y^{T} A^{-1} X\right)^{-1} Y^{T} A^{-1} \)
Ich habe versucht diese Formel anzuwenden, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis. Dann habe ich auch versucht Ak+1 mit ihren Inversen zu multiplizieren und zeigen, dass das die Einheitsmatrix ist. Habe auch nicht geschafft.
