Matrizenrechnung X bestimmen Inverse

Question

Gegeben seien die Matrizen:

 

Matrix A

2	-3
-2	1

Matrix B

1	2
-1	0

 

Matrix C

0	1
-2	0

 

C*X-A*X= B

Ich habe den Term folgendermaßen umgestellt:

 

X= (C-A)^-1 * B

 

Aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung:

1,5	-1
1	0

 

Kann mir bitte jemand den Rechenschritt aufzeigen? Bilde ich die Inverse jeweils von C und A und subtrahiere sie dann erst von einander. Oder Subtrahiere ich Sie zuerst und bilde danach die Inverse?

Comments

Das stimmt alles, was du da geschrieben hast. Berechne jetzt also C-A und davon dann das Inverse.

Answer 1

Deine Umformung ist richtig.

Es ist nun:

$$(C-A)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$Die Bestimmung der Inversen erfolgt mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus:$$\left( { \begin{matrix} -2 & 4 \\ 0 & -1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$Addiere zur ersten Zeile das Vierfache der zweiten Zeile:$$\left( { \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$Erste Zeile mal -0,5, zweite Zeile mal - 1:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -0,5 & -2 \\ 0 & -1 \end{matrix} } \right)$$Die Inverse von (C-A) ist also:$${ (C-A) }^{ -1 }=\begin{pmatrix} -0,5 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$und damit ergibt sich für X:$$X={ (C-A) }^{ -1 }*B=\begin{pmatrix} -0,5 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,5 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Da dies mit der vorgegebenen Lösung übereinstimmt, hast du dich irgendwo verrechnet.

Answer 2

Zuerst Differenz bilden, dann die Inverse bestimmen.

$$ X=(C-A)^{-1} \cdot B $$$$X=\left(\begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 0 & -1 \\\end{array}\right)^{-1} \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & -1 \\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \frac{3}{2} & -1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right)$$