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Bild Mathematik

habe diese Aufgabe in einem Übungsgheft gefunden und weiß nich wie man die lösen kann,

bin für jeden Ansatz dankbar und eine lösung war für meine eigene Überprüfung auch super

Danke schonmal für jede Hilfe, aber keinen Stress is nich dringlich.

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f orthogonal heißt ja  mit Skalarprodukt *

für alle u, v gilt u*v = f(u)*f(v)  nun gibt es  da B eine Basis ist

x1 ,x2 aus IR mit  u=x1*b1 + x2*b2     und

y1 ,y2 aus IR mit  v=y1*b1 + y2*b2

wegen der Linearität ist

f(u) = f ( x1*b1 + x2*b2 ) = x1*f(b1) + x2*f(b2) und

f(v) = f ( y1*b1 + y2*b2 ) = y1*f(b1) + y2*f(b2)

also f(u)*f(v) = ( x1*f(b1) + x2*f(b2) ) * ( y1*f(b1) + y2*f(b2))

und das gibt durch Umformung nach den Regeln des Skalarproduktes

= x1*y1*f(b1)*f(b1) + x1*y2*f(b1)*f(b2)+ x2*y1*f(b2)*f(b1)+ x2*y2*f(b2)*f(b2)

und weil f(b1) und f(b2) eine Orthon.basis sind, sind

f(b1)*f(b1)=1  und f(b1)*f(b2)=0  und   f(b2)*f(b1)=0   f(b2)*f(b2)=1

also geht es weiter mit

= x1*y1       + x2*y2  

und weil ja b1, b2 auch orthonormal waren gilt bei

u*v = ( x1*b1 + x2*b2 ) * ( y1*b1 + y2*b2 )  

auf die gleiche Weise auch ...

= x1*y1       + x2*y2       q.e.d.

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