f orthogonal heißt ja mit Skalarprodukt *
für alle u, v gilt u*v = f(u)*f(v) nun gibt es da B eine Basis ist
x1 ,x2 aus IR mit u=x1*b1 + x2*b2 und
y1 ,y2 aus IR mit v=y1*b1 + y2*b2
wegen der Linearität ist
f(u) = f ( x1*b1 + x2*b2 ) = x1*f(b1) + x2*f(b2) und
f(v) = f ( y1*b1 + y2*b2 ) = y1*f(b1) + y2*f(b2)
also f(u)*f(v) = ( x1*f(b1) + x2*f(b2) ) * ( y1*f(b1) + y2*f(b2))
und das gibt durch Umformung nach den Regeln des Skalarproduktes
= x1*y1*f(b1)*f(b1) + x1*y2*f(b1)*f(b2)+ x2*y1*f(b2)*f(b1)+ x2*y2*f(b2)*f(b2)
und weil f(b1) und f(b2) eine Orthon.basis sind, sind
f(b1)*f(b1)=1 und f(b1)*f(b2)=0 und f(b2)*f(b1)=0 f(b2)*f(b2)=1
also geht es weiter mit
= x1*y1 + x2*y2
und weil ja b1, b2 auch orthonormal waren gilt bei
u*v = ( x1*b1 + x2*b2 ) * ( y1*b1 + y2*b2 )
auf die gleiche Weise auch ...
= x1*y1 + x2*y2 q.e.d.
