[Trigonometrische Funktionen]: sin(x+\pi/2)=sqrt(1-sin^2(x))und arctan(x)

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:

Antworten zu:
(a)
$$sin(x+\frac { \pi  }{ 2 } )=\sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }(x) } \equiv cos(x)=\sqrt { { cos }^{ 2 }(x) } \\ \frac { 1 }{ 2 } (4\pi \cdot n-\pi )\le x\le \frac { 1 }{ 2 } (4\pi \cdot n+\pi ),\quad n\epsilon Z$$
(b)
$$f(x)=arctan(x)\equiv { tan }^{ -1 }(x)\\ f'(x)=\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+1 } \\ f'(0)=\frac { 1 }{ { 0 }^{ 2 }+1 } =1$$
Sind meine Berechnungen richtig? Wie kann man (b) lösen (stufenförmiger Übergang)?

Beste Grüße,

Asterix

Answer 1

Hi Asterix,

a) ist ok, benutzt ihr "\(\equiv\)" um Äquivalenz zwischen Gleichungen zu beschreiben? (Sehe ich zum ersten Mal).

b) Man wählt einen geeigneten Streckungsfaktor \(c \in \mathbb{R} \) und \(f (x) = \arctan(cx)\).

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

vielen Dank für deine Unterstützung! Ich habe "≡" geschrieben, da ich dachte, dass man so beschreiben kann das arctan(x) gleichbedeutend mit tan^-1(x) ist. Stimmt, ich hätte auch "=" oder "entspricht" bzw. "⇒" schreiben können. Zu (b): Ich habe mehrere Möglichkeiten im Funktionsplotter eingegeben (siehe Skizze unten) und vermute, dass arctan(100x) die Stufenform gut veranschaulichen kann, aber es steht ja nicht in der Aufgabe eine bestimmte Funktion anzugeben sondern wie du bereits beantwortet hast, dass ein geeigneter Streckungsfaktor gewählt wird. :-)

Beste Grüße,

Asterix

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Hey kein Thema, immer gerne. Sieht doch schonmal gut.

Ich meinte eigentlich die 3 Gleichheitszeichen bei a) :). Ich hätte da eher \(\Leftrightarrow\) benutzt, aber wenn das auch eine Notationsmöglichkeit ist, nevermind. Kenne diese \(\equiv\) eigentlich nur bei Kongruenzen und Gleichheit von Funktionen, nicht zwischen 2 Gleichungen.

Freut mich, dass ich helfen konnte.