sei n<m ZZ: n^m=m^n für ein natürliches zahlenpaar

Question

hallo zusammen, habe folgendes Problem:

1a) welche der beiden zahlen 2015²⁰¹⁶ und 2016²⁰¹⁵ ist die größere? Als Tipp ist gegeben: Untersuchen sie das monotonierverhalten der Funktion f(x)=ln(x)/x  in (0;∞)

b) zeigen sie, dass es genau ein paar natürlicher zahlen n<m gibt mit n^m=mⁿ

als monotonieverhalten leite ich also erst mal ab: ((1/x)*x-lnx)/x²

=(1-lnx)/x² extrema bei x=e und verläuft ähnlich wie die natürliche ln funktion

der tipp hilft mir jedoch nicht wirklich weiter, hat vielleicht einer eine  Idee?

Comments

Heyho:)

Komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Die Aufgabe gibt nur einen Punkt von insgesamt 20. Also kann es ja nicht so schwierig sein, aber selbst bei so einer kleinen Aufgabe komme ich nicht weiter. ...

Hier zur Aufgabe :

"Zeigen Sie, dass es genau  ein Paar natürlicher Zahlen  n <m gibt mit  n^m=mⁿ "

Hat jemand einen Vorschlag ? Danke .

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2^4 = 4^2

Würde passen.

Wie du die Eindeutigkeit beweist, ist eine andere Frage. Daher nur mal als Kommentar.

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Vgl. https://www.mathelounge.de/306812/welche-zahl-ist-grosser-2015-2016-oder-2016-2015

Bitte Fragen nicht mehrmals einstellen.

Was möchtest du mit der neuen Überschrift sagen?

Answer 1

zu b): Es muss gelten \(\frac{\ln(n)}{n} = \frac{\ln(m)}{m}\).

Aus Aufgabenteil a) folgt direkt \(n < e < m\). Viele Möglichkeiten gibt es wohl dann nicht mehr ;).

Gruß