Sei (G, ◦) eine Gruppe. Zz: Zu je zwei Elementen a, b ∈ G gibt es genau ein x ∈ G mit a ◦ x = b.

Question

Aufgabe: Sei (G, ◦) eine Gruppe:

Zu zeigen:

Zu je zwei Elementen a, b ∈ G gibt es genau ein x ∈ G mit a ◦ x = b.

Hinweis: Hieraus folgt. dass in der Verknüpfungstafel einer endlichen Gruppe G in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau was überhaupt zu zeigen ist.

Meine Argumentation wäre die folgende:

Gemäß der Verknüpfungstafel, welche der Aufgabenstellung entspricht, kann ich ablesen, dass zu je zwei Elementen a, b ∈ G gibt es genau ein x ∈ G mit a ◦ x = b.

◦	a	b	x
a	a	x	b
b	b	a	x
x	x	b	a

Habe ich die Aufgabenstellung überhaupt richtig verstanden, passt meine erstellte Verknüpfungstafel überhaupt zur Aufgabenstellung ( ich denke, dass a das neutrale Element in meiner Verknüpfungstafel ist) und wie sähe die richtige Lösung aus?

Für einen Lösungshinweis wäre ich sehr dankbar.

Vielen Dank,

neon

Answer 1

Aloha :)

Wir zeigen zuerst, dass es für zwei Zahlen \(a,b\in G\) ein \(x\in G\) gibt, sodass$$a\circ x=b$$Zu \(a\) gibt es ein inverses Elemente \(a^{-1}\), sodass wir \(x\coloneqq a^{-1}\circ b\) definieren können. Ist \(n\) das neutrale Element der Gruppe, so gilt für dieses \(x\):$$a\circ x=a\circ (a^{-1}\circ b)=(a\circ a^{-1})\circ b=n\circ b=b$$

Jetzt müssen wir noch zeigen, dass es genau ein solches \(x\) gibt, dass also das \(x=a^{-1}\circ b\) eindeutig ist. Dazu nehmen wir an, es gibt ein zweites \(x'\in G\), das die Gleichung \(a\circ x'=b\) erfüllt:$$x'=n\circ x'=(a^{-1}\circ a)\circ x'=a^{-1}\circ(a\circ x')=a^{-1}\circ b=x$$Da \(x'=x\) folgt, ist die Lösung \(x=a^{-1}\circ b\) eindeutig.