Wahrscheinlichkeit, einen Multiple Choice Test mit 5 Fragen und je 3 Antworten zu bestehen

Question

Habe folgende Angabe:

Ein Multiple Choice Test besteht aus 5 Fragen mit je 3 Antwortmöglichkeiten, wobei immer nur eine richtig ist. Wie groß ist die Chance, wenn man zweimal wiederholen darf, diesen Test zu bestehen, mehr als 2 richtige Antworten zu haben.

Danke für die Hilfe

Answer 1

Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit summieren sich zu 1, also 100%.
Also ist die Wahrscheinlichkeit, den Test in 3 Versuchen (Test + 2 Wiederholungen) zu bestehen, gleich
1 - Wahrscheinlichkeit (3 mal scheitern).
Wahrscheinlichkeit, beim 1. Mal zu scheitern, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten, 3, 4 oder 5 falsche

Antworten zu haben:
P (3 falsche) = (5 über 3) * (2/3)^3 * (1/3)^2 = 10 * 8/27 * 1/9

P (4 falsche) = (5 über 4) * (2/3)^4 * (1/3)^1 = 5 * 16/81 * 1/3

P (5 falsche) = (5 über 5) * (2/3)^5 * (1/3)^0 = 1 * 32/243 * 1

Also ist die Wahrscheinlichkeit, beim 1. Mal zu scheitern,

P (3 falsche) + P (4 falsche) + P (5 falsche) ≈ 0,79 = 79%

Die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander zu scheitern beträgt damit 0,79^3 ≈ 0,493 = 49,3%

Die Wahrscheinlichkeit, den Test in 3 Versuchen zu bestehen, beträgt also ca.

1 - 0,493 = 0,507 = 50,7%

Comments

In der Aufgabenstellung steht aber nicht das es drei Versuche gibt,sondern nur das er zweimal wiederholen darf .

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@db:

Danke für diesen Kommentar!

Vielleicht habe ich mich etwas unklar ausgedrückt:

Wenn man den Test beim ersten Mal nicht besteht (1. "Versuch"), darf man ihn noch zweimal wiederholen (2. und 3. "Versuch"). Man hat also insgesamt dreimal die Chance, den Test zu bestehen. Und die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt - wie oben berechnet - 50,7%.

Einverstanden?

 

Besten Gruß

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Vielen dank , einschliesslich Wiederholbarkeiten 3 Versuche.Allerdings weicht die Berechnung hier etwas ab . http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~gm072/content/MultipleChoice.pdf

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@db:

Ich glaube, dass in dem von Dir verlinkten Dokument keine Wiederholung berücksichtigt wird; sieh mir bitte nach, dass ich mich jetzt nicht durch diese "Wahrscheinlichkeitsüberlegung" arbeiten möchte :-)

Bitte schau Dir meine Lösung nochmal an, und wenn irgendwo ein Logikfehler eingebaut ist ("Spock" lässt grüßen), lass es mich bitte wissen :-D

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Also Spock grüsst ;-) Die Wahrscheinlichkeit genau alle Fragen bis auf k kleiner / gleich richtig anzukreuzen liegt bei --> Binominalkoeffizenten [gibt die Anzahl der Möglichkeiten an ] (n über k) mal 1/3 hoch n-k mal 2/3 hoch k ---> (5 über 2 ) mal 1/3 hoch {5-2} mal 2/3 hoch 2 = 0,1645 = 16,5 %.... Nun zu den den Wiederholungsmöglichkeiten, das ist eine simple Pfadrechnung, da der Prüfling,die Prüfung nur einmal bestehen muss ,kann man den Pfad nehmen ,das er bei allen 3 Prüfungen durchfällt.Die Chance die er durchfällt wäre 100-16,5= 83,5%→also 0,835 hoch 3 = 0,58 Also die Chance des durchfallens 58 % reziproke. Die Chance des bestehens 42 %.

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Faszinierend :-)

 

Trotzdem will sich mir Dein Ergebnis nicht erschließen:

Du kommst auf eine Erfolgswahrscheinlichkeit im 1. Versuch von 16,45%

(5 über 3) * (1/3)³ * (2/3)² = 10 * 1/27 * 4/9 ≈ 0,1646

Soweit einverstanden!

Aber warum gestehst Du dem Prüfling nur 3 richtige Antworten zu? Er kann doch auch 4 oder 5 richtige Antworten zufällig richtig ankreuzen -

auch wenn das natürlich recht unwahrscheinlich ist. Also

 

(5 über 4) * (1/3)⁴ * (2/3)¹ = 5 * 1/81 * 2/3 ≈ 0,04115

(5 über 5) * (1/3)⁵ * (2/3)⁰ = 1 * 1/243 * 1 ≈ 0,004115

Addiert man diese Wahrscheinlichkeiten auf, kommt man auf eine Erfolgswahrscheinlichkeit im 1. Versuch von ≈ 0,209865 ≈ 20,99%

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 1. Versuch zu scheitern, ca.

100% - 20,99% = 79,01%

(wie auch schon in meiner ersten Antwort berechnet)

W., dreimal zu scheitern, ist also

0,7901³ ≈ 0,4932

und damit die W., innerhalb von 3 Versuchen die Prüfung zu bestehen

1 - 0,4932 = 0,5068 = 50,68%

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Muss mich korrigieren ,es kommen noch die Chancen von 4 Richtigen von 4,1 % und die Chance von 5 Richtigen von 0,04 % dazu , Summe dann wären wir bei 21 % also 0,79 hoch 3 = 0,49 --> 49 % .......Das er besteht 51% .....also ihre Antwort stimmt.....wollte mich gerade korrigieren, aber sie waren schneller

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Andere Frage : Wie sieht es aus mit 30 Fragen mit 5 Antwort Möglichkeiten eine Richtig und 18 Richtige bestanden und 3 Chancen zum Schreiben

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@db:

Die Vorgehensweise sollte die Gleiche sein:

p = 1/5

Wahrscheinlichkeit zu scheitern im 1. Versuch =

P(0 richtige Antworten) + P(1 richtige Antwort) + P(2 richtige Antworten) + ... + P(17 richtige Antworten)

Dafür kann man dann die summierte Binomialverteilung zu Hilfe nehmen

http://www.alewand.de/stattab/tabdiske.htm#binom

Die Wahrscheinlichkeit, im 1. Versuch zu scheitern, beträgt also 99,99981575518515%

Die W., dreimal zu scheitern, beträgt demnach 0,9999981575518515³ ≈ 0,9999944727 = 99,99944727%

Durch Raten zu bestehen, hat also dann lediglich die Wahrscheinlichkeit von 0,00055273%

 

Dem Probanden ist also zu empfehlen, nicht zu raten, sondern zu lernen :-D

 

Besten Gruß

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Das sehe ich auch so vielen Dank für den Link