binomische Formel in Wurzelrechnung: (x^2 -1)^{0.5}*(x^2 -1)^{0.5}

Question

Ist z.B. (x² -1)^0.5)*(x² -1)^0.5)= x² -1 oder( x⁴+2x^2.-1)^0.5

Comments

Ups, meinte natürlich ( x⁴- 2x² +1)^0.5 statt ( x⁴+2x^2.-1)^0.5 

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Hat sich erledigt,  ( x⁴- 2x² +1)^0.5  ist richtig denke ich.

Answer 1

leider nicht, bzw. nicht vollständig vereinfacht. Denke an das Potenzgesetz a^n*b^n = (a*b)^n

Hier also:

(x^2-1)^{0,5} * (x^2-1)^{0,5} = ((x^2-1) * (x^2-1))^{0,5} = ((x^2-1)^2)^{0,5} = x^2-1

Grüße

Comments

Danke, klingt logisch. Mir ist aber nicht ganz klar warum man bei ((x² - 1)²)^0.5  nicht die 2. Binomische Formel anwendet. Weil Potenzrechnung vor Punktrechnung kommt?

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beide Antworten sind richtig.

Du kannst die 2.Binomische Formel anwenden und erhältst
( (x²-1)² )^0,5  = ( x⁴- 2x² +1)^0.5  = √  ( x⁴- 2x² +1 )

Andererseits ist
( (x²-1)² )^0,5 = (x²-1)^2*0,5 = ( x^2 -1 )^1 = x^2 - 1

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beide Antworten sind richtig.

Kann ja wohl nicht sein.   Setze z.B.  x = 0 ein.

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ich weiß wo du drauf hinauswillst.
Ich sage es dir aber nicht und antworte nur mit einer
Gegenfrage :
was ist deiner Meinung nach die richtige Antwort ?

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@unknown

Richtig ist
√ ( x^2 - 1)^2 = | x^2 - 1 |

Bloß, wo ist bei diesen Umformungen der Fehler ?

( (x²-1)² )^0,5 = (x²-1)^2*0,5 = ( x² -1 )¹ = x² - 1

mfg Georg

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georgborn:

gleicher Fehler wie bei ((-3)^2)^{0.5} = (-3)^{2*0.5} = (-3)^1. 

Bei geborchenen Exponenten musst du immer aufpassen. 

(x^2 -1)^{0.5}*(x^2 -1)^{0.5} im Rellen

impliziert aber von Anfang an, dass |x| ≥ 1. 

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Lu,
locker vom Hocker oder es bleibt kompliziert.

Ich habe jetzt schon mehrere Mathebücher  durchforstet
bin aber noch nicht zu zufriedenstellenden Antworten
gekommen.

Dürfen Wurzeln auf die bekannte  Weise multipliziert werden
wenn die Radikanten negativ sind :
√-5 * √-3 = √ [( -5 ) * (-3 )] = √ 15

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√-5 * √-3 = √ [( -5 ) * (-3 )] = √ 15 

√-5 ist nicht definiert. Wenn du 2 nicht definierte Werte miteinander mutliplizierst, kann nichts Schlaues rauskommen.

Ich gehe mal über das Komplexe, also die "Definition" von √(-5) als Lösung von

x^2 = -5

Hier gibt es 2 Lösungen: √(5)i und -√(5)i. Ebenso bei -√(3)i und -√(3) i.

Nun kannst du dein √-5 * √-3  auf verschiedene Arten hinschreiben und kommst wieder auf Widersprüche. Daher ist das einfach zu lassen. 

√-5 * √-3  = √(5) i * (-√(3)i) = - √(15) i^2 = 15

aber auch

√-5 * √-3 =  √(5)i * √(3}i = - √(15). So was will niemand. 

Wie oben erwähnt schliesst die Fragestellung schon aus, dass x^2 - 1 negativ ist. (Definitionsbereich!)

Daher musst du auch für die Antwort nicht erwarten, dass x^2 plötzlich kleiner als 1 sein kann. 

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Auf die Idee den Definitionsbereich aus bekanntem Grund
einzuschränken bin ich auch schon einmal gekommen.

Dagegen sprachen die Ergebnis des von mir verwendeten
Matheprogramms. Der Bildschirmausdruck sollte nachvollziehbar
sein.



Was sagt dein Wolfram ?

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Die gehen über C und haben zwischen -1 und 1 nur einen "komplexen" Graphen. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2+-1%29%5E0.5

Der interessiert mich nicht. 

In Schulbüchern kommen gelegentlich Aufgaben vor, in denen explizit steht "mit Fallunterscheidungen" und andere, bei denen man einfach rechnen soll unter der Voraussetzung, dass alles, was man hinschreibt definiert ist.

Answer 2

Ist z.B. (x² -1)^0.5)*(x² -1)^0.5) = x² -1 oder( x⁴-2x^2.+1)^0.5

oder√ (x² -1) ^* √ (x2 -1) * =  x² -1 oder  √(  x⁴-2x^2.+1)

Nach Durchforstung mehrerer Mathebücher bin ich der Meinung das die
Umformungen alle richtig sind ( siehe oben ) aber der Definitionsbereich
eingeschränkt ist
√ (x² -1) : der Radikand muß positiv sein. Also

D = x ≥ 1  und x ≤ -1

~plot~  ( x < -1 ) * sqrt ( x^4 -2*x^2 + 1 ) + ( x > 1 ) * sqrt ( x^4 -2*x^2 + 1 )~plot~

Die blaue Linie zwischen -1 < x < 1 ist nicht richtig und muß entfallen.

Comments

Ich danke für die Mühe !

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Gern geschehen.
Falls du Fragen hast. Immer nur zu.

mfg Georg