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ich bräuchte Hilfe Folgendes zu zeigen:

Sei (X,ll.ll) ein normierter C-Vektorraum und x_k eine konvergente Folge in X mit Grenzwert x. Zeige, dass dann auch die Folge $${ \left( \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { x }_{ k } }  \right)  }_{ n\epsilon N }$$ mit Grenzwert x konvergiert (für n gegen unendlich).

Wäre euch für hilfreiche Antworten sehr dankbar! :-)

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Grenzwertsatz von Cauchy, guckst Du da:

https://books.google.de/books?id=hhPTBgAAQBAJ&pg=PA176

Das mit "Sei (X,ll.ll) ein normierter C-Vektorraum" kannst Du vergessen. Es aendert am Beweis gar nichts.
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