a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
(i) \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{4 k+3}{3 k^{2}-4} \)
(ii) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{4 k^{2}+3}{3 k^{2}-4} \)
(iii) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
Hinweis: Bei zwei der drei Aufgaben etwas der Bauart \( \sum \limits_{k=k_{0}}^{\infty} c \cdot \frac{1}{k^{\alpha}}, \alpha>0, c>0, \) als div. Minorante oder konv. Majorante finden; die verbleibende mit dem Divergenzkriterium.
b)
(i) Entscheiden Sie, ob(!) die folgenden Folgen (mindestens) einen Häufungspunkt haben (kurze Begründung würde hier reichen)
(1.) \( a_{n}=\sin n \)
(2.) \( b_{n}=\sin \left(n^{2}\right) \)
(3.) \( c_{n}=\frac{\sin n}{n} \)
(ii) Geben Sie für eine dieser drei Folgen den/die Häufungspunkt(e) konkret an. (Für welche der 3 Folgen ist das am einfachsten?)
Ich habe den Großteil der Aufgabe genau so zitiert, um es möglichst "einfach" zu halten, da es mir selbst ein wenig zu schwer ist.
mfg grüner rabe
