Question

Man beweise

(A∪B)\(A∩B)=(A\B)∪(B\A)

Habe es mit boolsche Algebra(Morgan) versucht und den rechten Term mit B¬B und A¬A erweitert. Ich glaube aber, das sei nicht mathematisch richtig.

Answer 1

Wie sieht der beweis mit Venn-Diagrammen aus? Dürft ihr den machen?

Ansonsten mein Versuch hier. Wenn ihr dort etwas nicht benutzen dürft bescheid sagen. Ich hatte lange keine boolsche Algebra mehr und bin etwas eingerostet.

(a ∪ b) \ (a ∩ b)     | a \ b = a ∩ b'

= (a ∪ b) ∩ (a ∩ b)'     | (a ∩ b)' = (a' ∪ b')

= (a ∪ b) ∩ (a' ∪ b')

= (a ∩ a') ∪ (a ∩ b') ∪ (b ∩ a') ∪ (b ∩ b')

= (a ∩ b') ∪ (b ∩ a')

= (a \ b) ∪ (b \ a)

Comments

Hi, was genau meinst du mit b'? Ist damit "nicht b" gemeint? ich verstehe die zeile  a \ b = a ∩ b' nicht.

Vielen dank im voraus

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Ja damit ist nicht b gemeint.

a \ b sind alle Elemente von a due nicht in b enthalten sind, das erreicht man aber auch genau mit der Schnittmenge a ∩ b'. Darin sind ja auch nur die Elemente von a die nicht in b enthalten sind.

Notfalls mal an einem Venn-Diagramm verdeutlichen damit du es verstehst.

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Alles klar verstanden, vielen dank für die schnelle antwort.

Answer 2

(A∪B)\(A∩B)=(A\B)∪(B\A)

Du kannst es ja auch "zu Fuß" machen. Etwa so:

sei x aus (A∪B)\(A∩B) dann gilt

x aus (A∪B)   und x nicht aus (A∩B )

also (x aus A oder x aus B)  und ( x nicht aus A oder x nicht aus B)

also nach den Gesetzen der Aussagenlogik

x aus A und ( x nicht aus A oder x nicht aus B)

oder

x aus B und ( x nicht aus A oder x nicht aus B)

also auch

x aus A  und x nicht aus B

oder

x aus B und  x nicht aus A

also x aus  (A\B)∪(B\A)

Dann umgekehrt mit

x aus  (A\B)∪(B\A) beginnen.......