Kurvenuntersuchung e-Funktion: f(x)=2x*e^-0,5x

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich Hilfe benötige. Ich bin noch nicht so gut in diesem Thema.

Hier geht es um Kurvenuntersuchung e-Funktion.

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2x*e^-0,5x

a.) Untersuche die Funktion auf Randverhalten, Schnittpunkte, Extrem- und Wendepunkte.

Ich habe folgendermaßen angefangen

Randverhalten:

x-> +∞ : +∞ * -∞ = 0

x-> +∞ : -∞ * +∞ = -∞

Schnittpunkte mit den Achsen:

y-Achsenabschnitt: f(0)=2*0*e^0=0  => Sy (0|0)

Nullstellen: f(x)=0 <=> 2x=0  <=>x=0     e^-x > 0

(Graph geht durch den Ursprung)

Extrempunkte:

u'*v+u*v'

u=2x    u'=2    v=e^-0,5x      v'= -0,5*e^-0,5x

So und jetzt komme ich nicht mehr weiter.Wäre toll, wenn mir hier jemand helfen könnte. Danke.

Comments

Danke für die Antwort. Aber mir fehlen da ein bisschen die Zwischenschritte, damit ich das alles auch nachvollziehen kann.

Answer 1

f(x) = 2x • e^-0,5x

f '(x) =  e ^{- 0,5x} · (2 - x)    [Produktregel]

f " (x)  =  e ^{- 0,5x}·(x - 4) / 2

lim_x→∞ f(x)  = " ∞ • 0"  = 0  [Einfluss e-Term überwiegt Poynom]

lim_{x→ -∞} f(x) = " - ∞ • ∞" = - ∞

die Extremstelle findest du mit  f '(x) = 0   → x =2   → H( 2 | 4/e)    (da f ''(2) <0)

die Wendestelle: f '' (x) = 0  → x= 4   mit VZW,       → W(4 | 8/e²)

Gruß Wolfgang