Kurvenuntersuchung e-Funktion, Ableitung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=1/5*(e^x-e^-x)

a) Bestimmen sie die Ableitungen f',f'',f'''

b) Untersuchen sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte

c) wie lautet die Gleichung der Kurvennormale von f im Ursprung

Problem/Ansatz:

a) f'(x)=1/5*(e^x+e^-x)

  f''(x)=1/5*(e^x-e^-x)

  f'''(x)= 1/5*(e^x+e^-x)

b) Nullstellen: f(xn)=0

   Extrema: f'(xE)=0

   Wendepunkte: f''(xw)=0

                             f''(xw)=0 ^ f'''(xw)≠0

Answer 1

a)

f(x) = 0.2·e^x - 0.2·e^(-x)

f'(x) = 0.2·e^x + 0.2·e^(-x)

f''(x) = 0.2·e^x - 0.2·e^(-x)

f'''(x) = 0.2·e^x + 0.2·e^(-x)

b)

Nullstellen

f(x) = 0.2·e^x - 0.2·e^(-x) = 0 --> x = 0

Extrempunkte

f'(x) = 0.2·e^x + 0.2·e^(-x) = 0 → Keine

Wendepunkte

f''(x) = 0.2·e^x - 0.2·e^(-x) = 0 → x = 0 → WP(0 | 0)

c)

n(x) = - 1/f'(0)·(x - 0) + f(0) = - 2.5·x

Skizze

~plot~ 0.2*e^x-0.2*e^(-x);-2.5x ~plot~

Answer 2

c) n(x) = (x-0)*(-1)/f'(0) + f(0)

Answer 3

Nullstellen: f(xn)=0     ==>   xn = 0 

Extrema: f'(xE)=0  hat keine Lösung ==>  gibt keine Extrempunkte

Wendepunkte: f''(xw)=0  ==>  xw=0 

                          f''(xw)=0 ^ f'''(xw)≠0  

wie lautet die Gleichung der Kurvennormale von f im Ursprung

f ' (0) = 2/5 ==>  m_N = -5/2  mit P(0;0) also N : y = -5/2 * x

Das f  ist die Funktion 0,4 * sinh(x)   ~plot~ 0,4*sinh(x);-5/2 * x ~plot~

Answer 4

Gegeben ist die Funktion

 $$f(x)=1/5*(e^x-e^{-x})$$
a) Bestimmen sie die Ableitungen f',f'',f'''

$$f(x)=0,2e^x - 0,2e^{-x}$$$$f'(x)=0,2e^x + 0,2e^{-x}$$$$f''(x)=0,2e^x - 0,2e^{-x}$$$$f'''(x)=0,2e^x + 0,2e^{-x}$$

b) Untersuchen sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte

f(0)=0=f''(0)

(0|0) ist Nullstelle und Wendepunkte

Es gibt keine Extrema

c) wie lautet die Gleichung der Kurvennormale g(x)  von f im Ursprung

$$f'(0)=0,2 + 0,2=0,4=2/5$$$$g(x)=-2,5x$$