Wie erstelle ich diese Modellierung (Stochastik)?

Question

Ich brauche einen Ansatz für folgende Aufgabe:

Ein Student hat in einem Fast-Food-Laden die Beobachtung gemacht, dass er nach einer Bestellung in den ersten 5 Minuten Wartezeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit seine Bestellung bekommt.

Ab dann hat er das Gefühl, dass die Wahrscheinlichkeit für seine Mahlzeit bis zur 8. Minute linear abnimmt-und ab dann 0 ist.

Geben Sie eine geeignete Modellierung für den Sachverhalt an, bei dem die Wartezeit kontinuierlich ist. Weisen Sie nach, dass die Modellierung der von Ihnen gewählten Wahrscheinlichkeitsdichte legitim ist.

Answer 1

Hi,

hier mal ein Vorschlag für ein Modell für die Dichte: \(a \in \mathbb{R_+} \)

$$f(x) = \begin{cases} a, &\text{ falls } 0 \leq x \leq 5 \\  -\dfrac{a}{3}x+\dfrac{8a}{3}, &\text{ falls } 5 < x \leq 8 \\ 0, &\text{ sonst} & \end{cases} $$

Gruß

Comments

und die Höhe des Rechtecks in den ersten 5 Minuten wäre dann a= 1/5 oder wie? Ich muss das ja anschließend rechnerisch nachweisen

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Nein, damit es eine Dichte ist muss das Integral über dem ganzen Definitionsbereich gleich 1 sein nicht nur in den ersten 5 Minuten. So bestimmst du a. Als Ergebnis kommt a=2/13 raus.

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okay danke, das habe ich so weit verstanden, jetzt wird in Aufgabenteil b) gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mindestens 1 und max. 6 Minuten auf seine Bestellung warten muss

das müsste doch P([1,6])= ∫(von 1bis 5) 2/13dx + ∫(von 5 bis 6) -2/39x+16/39dx sein oder?

in c) wird dann nach der Wahrscheinlichkeit, dass er exakt 4 Minuten warten muss gefragt.. das wäre dann 2/13 ?

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Ja b) ist richtig.

Zu c)  da es sich um eine stetige Verteilung handelt ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Zeitpunkt immer gleich 0. Man kann die Verteilung natürlich diskretisieren in nur Minuten, nur Sekunden etc. aber dann muss auch das Modell angepasst werden. (Und der Realitätsbezug geht verloren. Umso feiner die Unterteilung umso nähre nähert man sich aber der Wahrscheinlichkeit Null für den exakten Zeitpunkt).