Wie erstelle ich für diese Funktion die Umkehrfunktion?

Question

Aufgabe:

f(x) = x² - 4x

y = x² - 4x

Problem/Ansatz:

Wie erstelle ich für diese Funktion die Umkehrfunktion f^-1 ?

Comments

Diese Funktion ist nicht injektiv, sie hat also keine Umkehrfunktion. Es seie denn, man schränkt den Definitionsbereich ein. Was steht in Deiner Aufgabe?

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Nichts weiteres steht in der Angabe, aber diesen Fall hatten wir schon mal und dort haben wir den Definitionsbereich eingeschränkt, z.B. x > 0. Mein Problem ist es, ich weiß nicht, wie ich das y "loswerden".

Answer 1

Aloha :)

Du musst die Funktionsgleichung nur nach $x$ umstellen und am Ende $x$ mit $y$ vertauschen:

$$\left.y=x^2-4x\quad\right|+4$$$$\left.y+4=x^2-4x+4\quad\right|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left.y+4=(x-2)^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\sqrt{y+4}=x-2\quad\right|+2$$$$\left.x=2\pm\sqrt{y+4}\quad\right|\text{\(x\) und \(y\) vertauschen.}$$$$\left.y=2\pm\sqrt{x+4}\quad\right.$$Jetzt erkennst du, dass die Umkehrfunktion nicht eindeutig ist. Streng genommen ist DIE Umkehrfunktion also nicht definiert. Du kannst dich aber für einen Zweig der Wurzelfunktion entscheiden und damit eine "Umkehrfunktion" angeben:$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x+4}$$

Answer 2

nach x auflösen:

y= x²-4x

x²-4x-y=0

x1/2 = 2±√(4+y)

f^(-1)(x) = 2±√(4+x)