Berechnen Sie die Umkehrfunktion, sofern diese existiert

Question

Aufgabe:

f : R×R −→ R×R, (x1, x2) 7−→ (y1, y2) = f(x1, x2) := (αx1+βx2, γx1+δx2).
Die Funktion enthält also vier Parameter α, β, γ, δ ∈ R, d.h. wir betrachten die Schar all
dieser Abbildungen.
Aufgabe: Berechnen Sie die Umkehrfunktion f−1 , sofern diese existiert.

Problem/Ansatz:

Denke man macht ein Lineares Gleichungssystem sodass ein x (x1 oder x2) wegfällt und man dann auf x auflöst.

Bin mir aber nicht sicher

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Funktion mit Hilfe einer Matrix schreiben:

$$\binom{y_1}{y_2}=\binom{f_1(x_1;x_2)}{f_2(x_1;x_2)}=\underbrace{\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\\gamma & \delta\end{pmatrix}}_{\eqqcolon A}\binom{x_1}{x_2}$$Die Funktions-Matrix \(A\) ist genau dann umkehrbar, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist:$$0\ne\operatorname{det}A=\alpha\delta-\beta\gamma\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha\delta\ne\beta\gamma$$

Die Umkehrabbildung wird dann durch die inverse Matrix beschrieben:$$A^{-1}=\frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma}\begin{pmatrix}\delta & -\beta\\-\gamma & \alpha\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=A^{-1}\binom{y_1}{y_2}=\frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma}\binom{\delta y_1-\beta y_2}{-\gamma y_1+\alpha y_2}$$

Comments

Kann man es auch per Gleichungssystem lösen oder war ich komplett fern

Trotzdem Danke

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Ja klar, du kannst auch das Gleichungssystem lösen, aber das ist recht fummelig, denn du musst ja \(x_1\) und \(x_2\) in Abhängigkeit von \(y_1\) und \(y_2\) bestimmen. Mit der Matrix-Inversion ist es schneller... finde ich zumindest.