Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion
\( f:[0,1] \rightarrow\left[-1, \frac{3}{4}\right]: x \mapsto x^{2}-\frac{1}{4^{x}} \)
a) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f \) eine inverse Funktion besitzt.
b) Berechnen Sie das Newtonsches Interpolationspolynom vom Grad 2 zur Inversen Funktion von \( f \). Verwenden Sie dabei die Stützstellen
\( x_{0}=0, x_{1}=\frac{1}{2} \text { und } x_{2}=1 \text { . } \)
Hab mich die letzten paar Stunden damit beschäftigt, bin aber kein bisschen weitergekommen.
Mir geht's vor allem um die a). Ich kenne nur den Ansatz, bei dem man zeigt, dass die erste Ableitung keine Nullstelle mit VZW hat. Die Ableitung zu bilden ist vergleichsweise kein Problem: 2x + ln(4) * \( \frac{1}{4^{x}} \)
Aber da jetzt die NST zu bekommen ist mir 'ne Nummer zu groß. Scheinbar braucht man da die Lambert W-Funktion, die wir nie behandelt haben. Hab sie mir angeschaut, versucht anzuwenden, aber ich komme nicht auf das gleiche Ergebnis wie z.B. WolframAlpha . Allgemein habe ich nicht das Gefühl, dass das der richtige Ansatz ist, weil, wie gesagt, die W-Funktion kennen wir eigentlich nicht und ich weiß auch sonst nicht, was ich sonst noch für Optionen habe.
Welche Ansätze gibt es da noch?
Ich danke für jegliche Hilfe!
