Existiert eine Umkehrfunktion?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion
f : [−1,∞)→[0,∞), x→ 1/4(x^2+2x+1),

Hat f eine Umkehrabbildung? Warum?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Weil f(x) im Definitionsbereich bijektiv ist.

f(x) = 1/4*(x+1)^2

Scheitel S(-1/0) 

Man kann den Parabelast an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten spiegeln und erhält so die

Umkehrfkt.

Comments

Bijektivität hatten wir nicht.

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bijektiv = es gibt zu jedem x genau ein y.

https://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion

Answer 2

f : [−1,∞)→[0,∞), x→ 1/4(x^2+2x+1)

\(y=\dfrac{1}{4}(x^2+2x+1)\)

\(4y=(x+1)^2\)

\(2\sqrt{y}=x+1\)

\(x=2\cdot\sqrt{y}-1\)

\(f*:[0,\infty)\rightarrow[-1,\infty), x\mapsto2\cdot\sqrt{x}-1\)

Also gibt es eine Umkehrfunktion in den vorgegebenen Intervallen.

Comments

Stimmt. Ich hatte die Angabe des Def-Bereichs
übersehen.

Answer 3

y = 1/4(x^2+2x+1)
Umkehrfunktion
x = 1/4(y^2+2y+1)
4x = ( y + 1 )^2
y + 1 = ± √ ( 4x )
f ^-1 ( x ) = ± √ ( 4x ) - 1
Die Funktion hat 2 Lösungen und ist somit
keine Funktion ( Funktion = nur 1 Lösung )

f ( 2.5 ) = 3
f ^-1 ( 3 ) = 2.5 oder -4.5 ( abgelesen )

Comments

Du hast den Definitionsbereich nicht beachtet.

Es ist x>=-1.

... oder -4.5 

kommt damit nicht in Frage