Berechnen Sie die f(x) aus den gegebenen Daten:

Question

Welche ganzrationale Funktion 4. Grades besitzt im Koordinatenursprung einen Sattelpunkt und in W (-2/-4) einen Wendepunkt?

Lösung: f(x) 0,25 x^4 + x^3

Answer 1

Beachte auch die korrigierte Rechnung im Kommentar. 

Welche ganzrationale Funktion 4. Grades besitzt im Koordinatenursprung einen Sattelpunkt

f(x) = a (x-0)^3 * (x-b) = ax^4 - abx^3

Ansatz mit 2 Unbekannten.

und in W (-2/-4) einen Wendepunkt?

f(-2) = a(-2)^4 - ab(-2)^3

-4 = 16a - 8ab

1 = -4a + 2ab      (I) 

Nun nachrechnen und dann noch eine 2. Gleichung aufstellen

Wendestelle ergibt ja noch

 f '' (-2) = 0. 

f(x) = a (x-0)^3 * (x-b) = ax^4 - abx^3

f ' (x) = 4ax^3 - 12abx^2

 f '' (x) = 12ax^2 - 24abx  
 
f '' (-2) = 12*4a - 24*(-2) ab = 0

48a  + 48ab = 0 
48 a( 1+ b) = 0 
b = - 1 

in (I) einsetzen. 

1 = -4a + 2ab

1 = -4a - 2a 

1 = -6a

-1/6 = a

Nun musst du nur noch den Fehler entdecken. 

Derzeit kommt Folgendes raus:

f(x) = a (x-0)³ * (x-b) = ax⁴ - abx³ 

f(x) = -1/6 x^4 + 1/6 x^3. 

Comments

Korrektur: 

f(x) = a (x-0)³ * (x-b) = ax⁴ - abx³

Ansatz mit 2 Unbekannten.

und in W (-2/-4) einen Wendepunkt?

f(-2) = a(-2)⁴ - ab(-2)³

-4 = 16a +  8ab

1 = -4a - 2ab      (I) 

Nun nachrechnen und dann noch eine 2. Gleichung aufstellen

Wendestelle ergibt ja noch

 f '' (-2) = 0. 

f(x) = a (x-0)³ * (x-b) = ax⁴ - abx³

 f ' (x) = 4ax³ - 3abx² 

 f '' (x) = 12ax² - 6abx   
  
f '' (-2) = 12*4a - 6*(-2) ab = 0 

48a  + 12ab = 0

 
12 a( 4+ b) = 0  
b = - 4   

in (I) einsetzen.  

1 = -4a - 2ab 

1 = -4a + 8a  

1 = 4a

1/4 = a

Nun kommt Folgendes raus:

f(x) = a (x-0)³ * (x-b) = ax⁴ - abx³ 

f(x) = 1/4  x⁴ -  (-4)*1/4*  x³ 

= 1/4 x^4 + x^3 

Answer 2

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² +dx +e

f '(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f ''(x) =  12ax² + 6bx + 2c

S((0|0)

f(0) = 0  → e = 0

f '(0) = 0  → d = 0

f '' (0) = 0 →  c = 0

also  f(x) =  ax⁴ + bx³

W(-2|-4):

f ''(-2) = 0     ↔  48a - 12b = 0        ↔  4a -b = 0

f(-2) = -4     ↔   16·a - 8·b = -4      ↔  4a -2b = -1

Das LGS  ergibt   b = 1 und a = 1/4

also: f(x) = 0,25 x⁴ + x³

Gruß Wolfgang