Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Wendetangente am Schaubild K von f im gegebenen Intervall mit der y-Achse.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=cos(π/4(x-1)); 0 ≤ x ≤ 5. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Wendetangente am Schaubild K von f im gegebenen Intervall mit der y-Achse.

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst die erste Ableitung ausgerechnet: f‘(x)= -1/4πsin(1/4πx-1/4π)

Dann die zweite Ableitung f‘‘(x)= -1/16πcos(1/4x-1/4π)

Diese muss man ja 0 setzen um die Wendestelle zu bekommen. Also 0=-1/16πcos(1/4x-1/4π).

Nun weiß ich nicht, wie ich nach x auflösen kann. Ich weiß, dass es eine Formel gab aber ich weiß nicht wie diese lautet und ich dann weiter rechnen kann.

Ich bitte um Hilfe, danke!

Lg

Answer 1

Hallo,

Ich habe zunächst die erste Ableitung ausgerechnet: f‘(x)= -1/4πsin(1/4πx-1/4π)

das ist richtig.

Dann die zweite Ableitung f‘‘(x)= -1/16πcos(1/4x-1/4π)

da fehlt ein \(\pi\), was aber im Grunde keine Rolle spielt$$f'' = -\frac{\pi^2}{16}\cos\left(\frac \pi 4(x-1)\right)$$

Diese muss man ja 0 setzen um die Wendestelle zu bekommen. Also 0=-1/16πcos(1/4x-1/4π).
Nun weiß ich nicht, wie ich nach x auflösen kann.

Dort steht$$-\frac{\pi^2}{16}\cos\left(\frac \pi 4(x-1)\right) = 0$$Dieser Ausdruck ist genau dann gleich \(0\), wenn die Kosinus-Funktion 0 liefert. UInd dies ist der Falll bei $$\cos(t) = 0 \implies t = k \pi + \frac \pi2, \quad k \in\mathbb Z$$Diesen Zusammenhang macht man sich am besten an Hand des Einheitskreises klar

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/5soakfq2/32/

Bewege den Punkt \(X\) mit der Maus. Die rote Strecke ist der Kosinus des Winkel der blauen (gerichteten) Geraden durch \(OX\) zur Horizontalen. Der Kosinus wird zu 0, wenn der Winkel \(=\pi/2=90\) bzw. \(-\pi/2=-90°\) ist.

Daraus folgt:$$\begin{aligned}\frac \pi 4(x-1) &= k \pi + \frac \pi2 &&|\, \cdot \frac 4\pi\\ x-1 &= 4k + 2 \\ x &= 4k +3 &&|\, 0 \le x \le 5\\ x &= 3\end{aligned}$$Der Rest sollte für Dich kein Problem mehr sein. Hier noch der Graph

~plot~ cos(π/4(x-1));[[-1|6|-1.5|3]];-pi*(x-3)/4;{0|3pi/4} ~plot~

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Aloha :)

Bei deiner Ableitung hat sich ein kleiner Bug eingeschlichen. Es muss \(\pi^2\) heißen, weil du ja 2-mal ableitest und daher die innere Ableitung 2-mal als Faktor auftregen muss:$$f''(x)=-\frac{\pi^2}{16}\cos\left(\frac\pi4x-\frac\pi4\right)$$Zur Bestimmung der Nullstellen der 2-ten Ableitung würde ich die Cosinus-Funktion in eine Sinus-Funktion umschreiben, weil die Nullstellen der Sinus-Funktion alle Vielfachen von \(\pi\) sind. Das geht mit \(\cos(x-\frac\pi2)=\sin(x)\).

$$f''(x)=-\frac{\pi^2}{16}\cos\left(\frac\pi4x+\frac\pi4-\frac\pi2\right)=-\frac{\pi^2}{16}\sin\left(\frac\pi4x+\frac\pi4\right)$$Damit kannst du alle Nullstellen finden:$$\frac\pi4x+\frac\pi4=n\cdot\pi\quad;\quad n\in\mathbb Z$$$$\frac\pi4x=n\cdot\pi-\frac\pi4$$$$x=\frac4\pi\left(n\pi-\frac\pi4\right)$$$$x=4n-1\quad;\quad n\in\mathbb Z$$

Im Intervall \(x\in[0;5]\) liegt also nur der Wert \(x=4\cdot1-1=3\).

Answer 3

0=-\( \frac{π}{16} \)* cos(\( \frac{π}{4} \)* x-\( \frac{π}{4} \))

cos(\( \frac{π}{4} \)* x-\( \frac{π}{4} \)) = 0

cos(x)=0

x=\( \frac{π}{2} \)

\( \frac{π}{4} \)* x-\( \frac{π}{4} \)=\( \frac{π}{2} \)

\( \frac{π}{4} \)* x=\( \frac{3π}{4} \)

x=3

Text erkannt:

\( x(x)=\cos \left(\frac{\pi}{4} x-\frac{\pi}{4}\right) \)