Sei ABCD ein Parallelogramm…. Beweisen Sie Ihre Vermutung

Question

Text erkannt:

a) Erklären Sie, dass eine Scherung bereits durch eine Achse a, einen Punkt \( P \notin a \) und seinen Bildpunkt \( P^{\prime} \) eindeutig festgelegt ist.
b) Sei \( A B C D \) ein Parallelogramm, E ein Punkt auf der Verlängerung von \( \overline{A B} \) über \( B \) hinaus und \( F \) ein Punkt auf der Verlängerung von \( \overline{A D} \) über \( D \) hinaus. Der Schnittpunkte von \( \overline{B F} \) und \( \overline{D E} \) sei \( G \). Untersuchen Sie ob die Dreiecke BCF und \( C D E \) denselben Flächeninhalt haben. Beweisen Sie ihre Vermutung.

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Hätte noch jemand eine Hilfe für a) ?

Answer 1

Die Aufgabe ist teilweise Humbug. Da wird ein Punkt G definiert, der dann gar nicht benutzt wird.

Das Dreieck CDE hat übrigens den selben Flächeninhalt wie CDB und hat somit exakt die Hällfte des Parallelogramminhalts.

Das Dreieck BCF hat übrigens auch den selben Flächeninhalt wie CDB.

Answer 2

Hallo,

zu a) ich gehe davon aus, dass die Achse \(a\) die Menge der Fixpunkte der Scherung sein soll. Damit ist allerdings die Angabe \(P,\,P',\,a\) nicht mehr unabhängig, da die Gerade durch \(PP'\) zwingend parallel zu \(a\) verlaufen muss. Es würde reichen, ein Punktepaar \(P,\,P'\) anzugeben und einen Fixpunkt \(F \not\in g(P,P')\). Die Achse \(a\) ist dann definiert als die Gerade durch \(F\), die parallel zu \(g(P,P')\) verläuft.

Aber egal. Ich glaube ein Bild sagt mehr als viele Worte:

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/578qzxrm/26/

Du kannst oben die Punkte \(A\), \(B\), \(C\), \(P\) und \(P'\) mit der Maus verschieben und dann siehst Du jeweils was für ein Effekt sich damit ergibt.

Am Beispiel des Punktes \(A\) kann an sehen, wie Scherung 'funktioniert'. Die Gerade durch \(PA\) (blau) schneidet \(a\) (lila) in \(F_a\). Und der gescherte Punkt \(A'\) ist der Schnittpunkt der Geraden durch \(P'F_a\) (blau) mit der Parallelen durch \(A\) (grau) zur Achse \(a\).

Und damit ist die Scherung auch eindeutig definiert.

Bem.: bei Punkten, die auf der Parallelen durch \(P\) zu \(a\) liegen, wählt man ggf. eine alternative Konstruktion. Aber es ändert sich am Prinzip nichts,

zu b) durch Scherung kann man das Dreieck \(\triangle BCF\) in das flächengleiche Dreieck \(\triangle BCD\) überführen. Ebenso durch Scherung lässt sich das Dreieck \(\triangle CDE\) in das flächengleiche Dreieck \(\triangle BCD\) überführen. Also haben die beiden Dreiecke \(\triangle BCF\) und \(\triangle CDE\) den gleichen Flächeninhalt.

Das Bild zur Aufgabe

Gruß Werner

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Ja wäre echt nett, wenn Sie mir auch bei der a helfen könnten:/…

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ich habe die Antwort um den Teil a) erweitert.