Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) Bedienungen 4 Grades

Question

Aufgabe:

Das Schaubild K einer Polynomfunktion 4. Grades ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse. Bei xw = 1
hat sie eine Wendetangente mit der Gleichung y= -8x + 7. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x).

Hinweis zur Syntax der Antwort:
f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e;

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich auf die Bedienungen komme.

Also Spiegel Symmetrie ist ja f(x) = f(-x).

Die Steigung der Wendetangente ist -8 also f'(-8) = 0

Ist der Wendepunkt dann bei (1/-1)? Also wenn ich xw in die Gleichung einsetze? Kann man das so machen und gibt es noch eine weitere Bedienung?

Answer 1

Wegen der Spiegelsymmetrie zur \(y\)-Achse, entfallen alle Terme ungerader Potenz. D. h. der Ansatz vereinfacht sich zu \(f(x)=ax^4+cx^2+e\).

Wir haben bei \(x_w=1\) eine Wendestelle, das bedeutet \(f''(1)=0\) und die Steigung der Wendetangente ist \(f'(1)=-8\). Der Wendepunkt ist \((1|-1)\), dafür musst du die Wendetangente bei \(x_w=1\) einfach auswerten. Damit ist die letzte Bedingung \(f(1)=-1\)

Answer 2

Das Schaubild K einer Polynomfunktion 4. Grades ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse.
Aus
a * x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d * x + e
wird ( Nur für gerade Exponenten spiegel-
symmetrisch )
a * x^4 + c*x^2 + e

f ( x ) = a * x^4 + c*x^2 + e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 2 * c*x
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 2 * c

Bei xw = 1 hat sie eine Wendetangente mit der
Gleichung y= -8x + 7. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung f(x).

f ´( 1 ) = -8
f ´´ ( 1 ) = 0
f ( 1 ) = -8*1 + 7 = -1

f ( 1 ) = a * 1^4 + c*1^2 + e = -1
f ´( 1 ) = 4 * a * 1^3 + 2 * c*1 = -8
f ´´ ( 1 ) = 12 * a * 1^2 + 2 * c = 0

a * 1+ c * 1 + e = -1
4 * a * 1 + 2 * c * 1 = -8
12 * a * 1 + 2 * c = 0

a = 1
c = - 6
e = 4

f ( x ) = x^4 - 6*x^2 + 4