Polynomfunktion 3 Grades: Berechnen der Koordinaten des Hochpunktes (Tiefpunkt und Wendepunkt angegeben)

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Polynomfunktion 3 Grades hat den Tiefpunkt T= (2 | 1) und den Wendepunkt W = ( 5 | 3 ). Ermittle die Koordinaten des Hochpunkts H des Graphen!

Problem/Ansatz:

Soweit habe ich das hier aufgeschrieben:

f(2)=1

1= 8a + 4b + 2c + d

f'(2)=0

0= 12a + 4b + c

f(5)=3

3= 125a + 25b + 5c +d

f''(5)=0

0= 30a + 2b

ich weiß aber leider nicht was der nächste Schritt zum Berechnen der Koordinaten des Hochpunktes ist!

Answer 1

Der Graph einer Polynomfunktion 3 Grades ...

... ist punktsymmetrisch bezüglich des Wendepunktes.

hat den Tiefpunkt T= (2 | 1) und den Wendepunkt W = ( 5 | 3 )

Vom Punkt (2 | 1) zum Punkt (5 | 3) geht's 3 nach rechts und 2 nach oben.

Von dort aus noch mal 3 nach rechts und 2 nach oben ist der Punkt (8 | 5). Das ist der Hochpunkt.

Answer 2

Löse das von dir aufgestellte Gleichungssystem.

Du erhältst die Funktion

\( y = -\frac{1}{27} x^{3}+\frac{5}{9} x^{2}-\frac{16}{9} x+\frac{71}{27} \)

Nullstellen der ersten Ableitung sind bei x = 2 und x = 8.