Polynomfunktion 3 Grades

Question

Aufgabe:

Von einer Polynomfunktion ist sowohl eine Nullstelle N(7/0),

als auch die Steigung der Wendetangente im Wendepunkt W(5/2) mit k=-1.5

bekannt.

Problem/Ansatz:

1-) Zeigen,dass die gesuchte Funktion:

f(x) = 1/8 * (x^3 -15x^2 +63x -49) lautet

2-)Berechnen die Nullstelle und Extremwerte die Funktion

Vielen Dank!

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Nullstelle N(7/0),

f(7) = 343a + 49b + 7c + d = 0

die Steigung der Wendetangente im Wendepunkt W(5/2) mit k=-1.5

f"(5) = 30a + 2b = 0
f(5) = 125a + 25b + 5c + d = 2
f'(5) = 75a + 10b + c = -1.5

Löse das LGS um a, b, c und d zu ermitteln.

zur Kontrolle:

a = 0.125, b = -1.875, c = 7.875, d = - 6.125

f(x) = 0,125x^3 - 1,875x^2 + 7,875x - 6,125

f(x) = 1/8 * (x^3 - 15x^2 + 63x - 49)

Berechnen die Nullstelle und Extremwerte die Funktion

0.125x^3 - 1.875x^2 + 7.875x - 6.125 = 0

x₁ = 1, x₂ = 7

Extremwerte mit notw. Bed: f'(x) = 0 und hinr. Bed: f''(x) ≠ 0

Answer 2

Zeigen,dass die gesuchte Funktion:

Die Bedinungen lauten

f(7)=0
f(5)=2
f'(5)=-1.5
f''(5)=0

Das gelöste GS resultiert in der Funktion 0.125x³ -1.875x² +7.875x - 6.125 = f(x)

Berechnen die Nullstelle und Extremwerte die Funktion

NS: Z.B. mithilfe der PD, eine Nullstelle kennst du ja bereits.

ES: f'(x) = 0.375x² -3.75x +7.875 -> f'(x)=0 setzen und mit dem präferierten Verfahren lösen.

Answer 3

Hier die Berechnungen

Doppelte Nullstelle bei x = 7

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 4

Das Aufstellen und Lösen eines linearen Gleichungssystems ist nicht erforderlich, Nachrechnen der vier Bedingungen genügt völlig, um zu zeigen, dass f sie erfüllt.