Die Frage ist zwar alt, aber weil mir dazu folgende Antwort eingefallen ist ...
Betrachte man zunächst mal folgendes CindyJS-Applet:
https://jsfiddle.net/WernerSalomon/578qzxrm/11/
Wenn man den (gelben) Punkt \(P\) mit der Maus verschiebt, verändert man den Wert von \(x=|PB|\) (rot) und damit die Fläche des Parallelogramms. Rechts daneben habe ich das Rechteck \(ABCD\) mit \(a=8\) und \(b=5\) als \(A'B'C'D'\) noch einmal gezeichnet, aber die Flächen anders aufgeteilt. Denkt man sich die Dreiecke \(\triangle APS\) und \(\triangle QCR\) in das Rechteck \(S_1Q'C'R'\) sowie die Dreiecke \(\triangle PBQ\) und \(\triangle SRD\) in das Rechteck \(P'B'Q'S_2\) verlegt, so folgt daraus, dass die verbleibende grüne Fläche genauso groß sein muss, wie die des Parallelogramms \(PQRS\).
Mit Verschieben des Punktes \(P\) nach links, verkleinert sich das grüne Sechseck auf der Strecke \(|P'S_2|\) und \(|S_2S_1|\) (blau). Gleichzeitig vergrößert sich seine Fläche an der Seite \(|S_1R'|\) (gelb). Ein Extremum ist genau dann erreicht, wenn sich dieses Vergrößern und Verkleinern die Waage hält - also$$\begin{aligned}|P'S_2| + |S_2S_1| &= |S_1R'| \\ (b-x) + (a-2x)&= x \\ a+b &= 4x \\ \implies x &= \frac 14(a+b) = \frac 14(8+5) = \frac {13}4\\\end{aligned}$$kein Ableiten, keine quadratische Gleichung und man kann die Optimierungsaufgabe trotzdem lösen ;-)
Gruß Werner
