Cauchyprodukt wäre dann (n+1) und (n+2) jeweils eine Folge?

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) (n+1)(n+2) zⁿ mit z∈ℤ 

|z|<1

Problem/Ansatz:

Ich weiß mit dem cauchyprodukt wäre dann (n+1) und (n+2) jeweils eine Folge ?

Comments

Was ist denn überhaupt die Aufgabe?

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Berechnen sie die Summe von oben mit geeignetem cauchyprodukt

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Ich vermute, Du sollst erkennen, dass

$$(n+1)(n+2)=2\sum_{k=1}^{n +1}k$$

ist. Vielleicht habt Ihr aber auch schon das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit sich selbst berechnet und sollt von daher auf die Lösung kommen.

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Wie bist du auf 2 \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{k} \) gekommen ?

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Das ist die Gaußsche Summenformel für \( n+1 \) siehe hier https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

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Dort steht \( \sum\limits_{k=1}^{n}{2k} \) = n(n+1)

Ich kann die 2 ja aus der Summe ziehen, nur ich verstehe nicht wie ich dies umformen kann. Eventuell denke ich zu kompliziert.

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Dh doch wenn meine Summe von k=1 bis n+1 geht dann bekomme ich ja für n=n+1 und für n+1= (n+1)+1=n+2

Richtig ? Aber warum darf ich dies annehmen?

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Du willst doch \( (n+1) (n+2) \) als Reihe darstellen und nicht \( n (n+1) \)

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Ja genau ich verstehe aber nicht wieso diese 2k in der Summe stehen.

Answer 1

Es ist doch $$ \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{1}{2} (n+1)(n+2) $$ also $$ \sum_{k=1}^{n+1} 2k = (n+1)(n+2) $$