Cauchyprodukt und Grenzwerte

Question

Kann mir jemand für die folgende Aufgabe helfen:

$$\text{(a) Zeige, dass exp} (nx)=(\text{exp}(x))^n \text{ }\forall n\in\mathbb{N} \text{ und } x \in \mathbb{R} \text{ gilt.} \newline \text{(b) Berechne die Grenzwerte }\lim\limits_{x\to\infty}\bigg(1-\frac{1}{2n-4}\bigg)\text{ und } \lim\limits_{x\to\infty}\bigg(\frac{n^3+7n^2+11^n+5}{n^3}\bigg). \newline \text{Sei }|x|<1. \text{ Berechne die Produkte} \newline \Bigg(\sum \limits_{n=0}^{\infty}x^n\bigg)\bigg(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\bigg)\text{ und }\bigg(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\bigg)\bigg(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\bigg) \newline \text{mittels des Cauchy-Produkts für Reihen.}$$

Comments

Wie habt ihr denn die \(e\)-Funktion eingeführt.

Oder anders gefragt, was kann man bei der (1) voraussetzen?

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$$\text{ Wir haben nur festgelegt dass, } \text{exp}(x)=\sum \limits_{n=0}^{k}\frac{x^n}{n!}+R_{k+1}(x) \newline \text{wobei }|R_{k+1}(x)|\leq 2\frac{|x|^{k+1}}{(k+1)!}\forall x\text{ mit } |x|\leq1+\frac{1}{2}k.$$