Prüfen: Lineare Funktionen/Abbildungen

Question

hallo

ich bräuchte ein Gegenbeispiel, warum folgendes keine lineare Abbildung ist:

Wie beweise ich das hier: 

Ich kann mir unter dieser Abbildung nichts vorstellen. Deshalb fällt es mir schwer die Definition der linearen Abbildung anzuwenden.

Zusatz (das ist nicht so wichtig, da ich es vielleicht auch alleine hinkriege):

dankee für jede Antwort!

Answer 1

1) Das \(f\) ist ja schlicht die Realteilabbildung. Kann stets \(\Re(az) = a\Re(z)\) sein, wenn \(a\) auch komplex sein darf?

2) Es wird einfach jeder Abbildung/Funktion ihr Wert im Nullpunkt zugeordnet. Z.B. \(\delta(x\mapsto x^2)=0^2=0\) oder \(\delta(x\mapsto\cos x)=\cos 0=1\), etc.

Zum Nachweis, dass eine Abbildung \(f\) linear ist, muss man die Definition der Linearitaet nachrechnen. Es muss immer \(f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\) gelten.

Comments

Könntest du mir vielleicht das mit dem Skalarprodukt helfen:

Ich soll ja ƒ(αx+βy) = αƒ(x) +βƒ(y) zeigen.

Also:

ƒ(α(x₁, x₂) + β(y₁, y₂)) = ƒ(αx₁+βy₁, αx₂+ βy₂) = ∑ (αx₁+βy₁) (αx₂+βy₂)

Aber:

αƒ(x₁, x₂) +βƒ(y₁, y₂) = α ∑ x₁*x₂ + β ∑ y₁*y₂ 

Das Skalarprodukt müsste doch linear sein. Ich vermute deshalb, ich habe einen Fehler in meiner Rechnung.