Hallo,
ein notwendiges (einfaches) Kriterium zur Überprüfung ist der Fakt, dass lineare Abbildung die Null immer auf die Null abbilden.
Sei \(f : V\to W\) eine \(K\)-lineare Abbildung. Dann ist \(v\in V\) und, da \(V\) ein Vektorraum ist auch \(-v\in V\). Es gilt dann mit \(0=v+(-v)\), dass:$$f(v+(-v))=f(v)+f(-v)=f(v)-f(v)=0$$ Damit siehst du unmittelbar, dass es sich bei ii) um keine lineare Abbildung handeln kann, denn \(f\left(\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}\).
Für i) überprüfst du, ob \(f(\lambda v+w)=\lambda f(v)+f(w)\) gilt, wobei \(v,w\in \mathbb{R}^2\) und \(\lambda \in \mathbb{R}\).