Auf lineare Abbildungen prüfen?

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear sind:

i) ℝ² ->ℝ, (x,y)-> x·y

ii)ℝ²->ℝ^{2 (\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)->\( \begin{pmatrix} 1-y \\ y-1 \end{pmatrix} \)}

Problem/Ansatz:

Wie wende ich die Bedingungen bezüglich der linearen Abbildung auf Beispiele an ?

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Ich habe

f(v+v‘)=f(v)+f(v‘)

v=(x,y) und v‘=(x‘,y‘)

f((x,y)+(x‘,y‘))=f(x,y)+f(x‘,y‘)

f((x·x‘),(y·y‘))=(x·y)+(x‘·y‘)

Bleibt wie oben=(x·x‘)+ (y·y‘)

Und weiter ?

f(λ·v)=λ·f(v)

v=(x,y)

f(λ·(x,y))=λ(x·y)

f(λx,λy)=λx·λy

Dann muss ich doch λ mit meinem x aus der Abbildung mal nehmen und das für y

Am Ende habe ich (λx,λy)=λx·λy stehen ist das richtig ?

Answer 1

Hallo,

ein notwendiges (einfaches) Kriterium zur Überprüfung ist der Fakt, dass lineare Abbildung die Null immer auf die Null abbilden.

Sei \(f : V\to W\) eine \(K\)-lineare Abbildung. Dann ist \(v\in V\) und, da \(V\) ein Vektorraum ist auch \(-v\in V\). Es gilt dann mit \(0=v+(-v)\), dass:$$f(v+(-v))=f(v)+f(-v)=f(v)-f(v)=0$$ Damit siehst du unmittelbar, dass es sich bei ii) um keine lineare Abbildung handeln kann, denn \(f\left(\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}\).

Für i) überprüfst du, ob \(f(\lambda v+w)=\lambda f(v)+f(w)\) gilt, wobei \(v,w\in \mathbb{R}^2\) und \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Comments

Vielen Dank :)

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Übrigens scheitert (i) an der Homogenitätsbedingung. Es muss ja \(f(\lambda v)=\lambda f(v)\) gelten. \(v\) ist ein Vektor im \(\mathbb{R}^2\), besteht also aus \(v=(v_1,v_2)\). Es gilt dann:$$f(\lambda v)=f\left(\lambda \cdot \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}\right)=f\left(\begin{pmatrix} \lambda v_1\\\lambda v_2 \end{pmatrix}\right)=\lambda v_1\cdot \lambda v_2=\lambda^2v_1v_2$$ Es gilt also nicht \(f(\lambda v)=\lambda f(v)\).

Answer 2

Hallo

einfach in die Beziehung für linear einsetzen f((x1,y1)+(x2,y2))=f(x1,y1)+f(x2,y2) ?

und f(a*(x1,y1))=a(f(x1,y1) ?  überprüfen durch einsetzen dann solltest du sehen ob die Abbildungen dem genügen .

Gruß lul

Comments

Ich habe

f(v+v‘)=f(v)+f(v‘)

v=(x,y) und v‘=(x‘,y‘)

f((x,y)+(x‘,y‘))=f(x,y)+f(x‘,y‘)

f((x·x‘),(y·y‘))=(x·y)+(x‘·y‘)

Bleibt wie oben=(x·x‘)+ (y·y‘)

Und weiter ?

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v=(x,y) f(a*v)=ax*ay=a^2xy≠a*f(v)=axy

entsprechend falsch ist bei f(av) in ii

lul

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Ich verstehe deinen weg leider nicht.

also ist meins falsch ?

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Also bezüglich der Addition gilt i allerdings nicht bezüglich der Multiplikation.

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Hallo

mit der Addition hast du richtig gerechnet, aber man muss halt auch die Multipliziert. nachprüfen.

lul