Linearität von Abbildungen prüfen

Question

Aufgabe:

Welche der nachfolgenden Abbildungen sind linear, welche nicht?

1) ℝ^2→ℝ^2, (x₁;x₂) ↦ (min{x₁,x₂},max{x₁;x₂})

2) ℝ^2→ℝ^2, (x₁,x₂) ↦ (x₂,x₁) + √5 (x₁,x₂) − (0,x₂)

3) ℝ^3→ℝ,(x₁,x₂,x₃)↦ √2 x₁− √5 x₂+ √3 x₃ 

4) (2)^3→(2)^3,(x,y,z)↦(y+z,x+z,x+y+xyz)

Problem/Ansatz:

Ich weiß wirklich nicht, wie ich das beweisen soll... damit es linear abhängig ist, muss sich ja einer der Vektoren aus linearkombinaion der anderen Vektoren darstellen lassen.

Weiß jemand was die Lösungen sind?

Comments

damit es linear abhängig ist

Mit "linear abhängig" hat das nichts zu tun.

Eine Abbildung ist linear, wenn sie die hier genannten Bedingungen erfüllt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung#Definition

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Du hast unter den Wurzeln keine Klammern. Da geht man mathematisch (z.B. mathef) davon aus, dass die Wurzel nur für die Zahlen und nicht noch für die x danach gilt.

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Die Wurzel gehört auch nur zu der Zahl nicht zu den Variablen x

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Dann ist alles i.o. in der Antwort unten.

Answer 1

Es geht doch um die Linearität dere Abbildungen,

nicht um linear abhängig.

z.B.

1) f : ℝ^2→ℝ^2,(x₁;x₂)↦(min{x₁,x₂},max{x₁;x₂}) ist nicht linear,

denn  f( 1; -2 ) = (min{1; -2},max{1;-2}) = (-2;1 )

und   f( -1; 0) = (min{-1; 0},max{-1;0}) = (-1;0 )

aber

f ( ( 1; -2 ) + (-1;0) ) = f( 0 ; -2 )  = (min{0; -2},max{0;-2}) = (-2;0 ) ≠  (-2;1 ) + (-1;0 ) .

Comments

2) ℝ2→ℝ2,(x₁,x₂)↦(x₂,x₁)+√5(x₁,x₂)−(0,x₂)
 f(1,2)= (2,1)+√5(1,2)-(0,2)= (2+√5-0,1+2√5-2)=(2+√5,-1+2√5)

f(1,0)=(0,1)+√5(1,0)-(0,0)=(√5,1)

f(2,2)=(2,2)+√5(2,2)-(0,2)=(2+2√5-0,2+2√5-2)=(2+2√5,2√5)

f(2,2)=f(1,2)+f(1,0)= (2+√5,-1+2√5)+(√5,1)=(2+√5+√5,2√5)=(2+2√5,2√5)

Also ist 2) linear? Stimmt das so?

3) ℝ3→ℝ,(x₁,x₂,x₃)↦√2x₁−√5x₂+√3x₃

f(1,2,3)=(√2*1-√5*2+√3*3)

f(3,2,1)=(√2*3-√5*2+√3*3)

f(4,4,4)=f(1,2,3)+f(3,2,1)=(√2-√5*2+√3*3)+(√2*3-√5*2+√3)=(√2*4-√5*4+√3*4)

Also linear

4) F(2)^3→F(2)^3,(x,y,z)↦(y+z,x+z,x+y+xyz)

f(1,2,3)= (2+3,1+2,1+2+1*2*3)=(5,3,9)

f(0,1,2)=(1+2,0+1,0+1+0*1*2)=(3,1,1)

f(1,3,5)=(3+5,1+3,1+3+1*3*5)=(8,4,19)

f(1,3,5)=f(1,2,3)+f(0,1,2)=(5,3,9)+(3,1,1)=(8,4,10)

Da ungleich nicht linear

Stimmt das so?

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Linearität widerlegen kannst du natürlich durch Beispiele.

Sie zu zeigen geht natürlich nur allgemein und

zwar musst du dann beide Linearitätseigenschaften

(additiv und homogen) nachweisen.

additiv bei Nr 3 könnte so aussehen:

Seien (a,b) und (x,y)  ∈ R^2 , dann gilt

f(1,2)= (2,1)+√5(1,2)-(0,2)= (2+√5-0,1+2√5-2)=(2+√5,-1+2√5)

 f(a,b)= (b,a)+√5(a,b)-(0,b)= (b+a√5-0,a+b√5-b)=(b+a√5,a+b(√5 -1))

und entsprechend für f(x,y)

und f( a+x,b+y) und dann zeigen:  f(a,b)+f(x,y) =  f( a+x,b+y)

und entsprechend für homogen

f( x*(a,b) ) = f( xa , xb ) .

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Okay, versteh ich nicht ganz wie das geht... ich muss aber am Ende nur sagen ob es linear ist oder nicht, ohne Begründung. Stimmt es dann das 1) nicht linear 2) linear 3) linear und 4) nicht linear ist?

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Bei 4) geht es doch um den Körper F₂ oder?

Der hat doch nur die Elemente 0 und 1, bei dir kommen aber

noch andere Werte vor ???

Die Ergebnisse für  ersten 3 sind richtig, wenn du keine

Begründung brauchst.

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Ja stimmt, dann muss ja z.B. z=y sein oder?