Aufgabe:
Sei \( \mathcal{P}_{2} \) die Menge aller Polynomfunktionen \( p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) vom Grad \( \leq 2 \). Wie bereits bekannt (Übungstermin 3), ist \( \mathcal{P}_{2} \) ein dreidimensionaler reeller Vektorraum. Welche der folgenden Operationen für Polynomfunktionen definieren eine Abbildung \( \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathcal{P}_{2} \) ? Welche davon sind linear? Begründen Sie Ihre Antworten!
(i) \( f: p \mapsto f(p) \) mit \( f(p): t \mapsto t p(t) \)
(ii) \( g: p \mapsto g(p) \) mit \( g(p): t \mapsto(t+1) p^{\prime}(t) \)
(iii) \( h: p \mapsto h(p) \) mit \( h(p): t \mapsto t^{2} p^{\prime \prime}(t) \)
(iv) \( j: p \mapsto j(p) \) mit \( j(p): t \mapsto p(t)-3 \)
(v) \( k: p \mapsto k(p) \) mit \( k(p): t \mapsto \frac{1}{t} \int \limits_{0}^{t} p(\tau) d \tau \) (gekürzt, falls möglich)
Problem/Ansatz:
Im Grunde ist mir klar, wie man die Linearität prüft und auch, dass wenn der Nullvektor eingesetzt etwas anderes als null ergibt, es sich um keine lineare Abbildung handel kann.
Im konkreten Fall hänge ich leider ein bisschen. Beispielsweise bei ii)
das Polynom der Form a+b*t+c*t2 wird durch ableiten zu b+2c*t
und wenn ich das ganze jetzt mit (1+t) multipliziere, komme ich auf b+2ct+bt+2ct2
wenn ich da jetzt den Nullvektor einsetze, dann komme ich auf g(0)=b und schließe daraus, dass die Abbildung nicht linear ist.
Stimmt das so?
Danke
