i) Zeigen Sie, dass \( U \subseteq \mathbb{R}^{4} \) ein Unterraum ist.
Zeige also Abgeschlossenheit gegenüber + und S-Multiplikation
und Nullvektor in U und zu jedem Vektor auch sein
additives Inverses.
Abgeschlossenheit gegenüber +: Seien zwei Elemente von
U gegeben, dann gibt es x,y und a,b ∈ ℝ , so dass die so aussehen
\( (0, x, x-y, 0) \) und \( (0, a, a-b, 0) \)
==> Summe ist \( (0, x+a , (x-y)+(a-b), 0) = (0, x+a , (x+a) -(y+b), 0)\)
Also gibt es u und v ∈ ℝ , so dass die Summe von der
Form \( (0, u , u-v, 0) \) ist, also in U liegt.
Ähnlich die anderen Eigenschaften begründen.
ii) Finden Sie einen weiteren Unterraum \( W \subseteq \mathbb{R}^{4} \) sodass \( \mathbb{R}^{4}=U \oplus W \) gilt. Begründen Sie Ihre Wahl. (Hinweis: Versuchen Sie es mit \( (1,0,0,0) \) und \( (0,0,0,1) \).)
Die Elemente von U haben alle als 1. und 4. Komponente eine 0.
In R^4 müssen aber auch dort alle reellen Zahlen auftauchen können,
wenn man Linearkombinationen der gesuchten Basisvektoren von W
betrachtet. Deshalb ist \( (1,0,0,0) \) und \( (0,0,0,1) \) eine gute Wahl.
Damit die Summe direkt ist, dürfen U und W nur den 0-Vektor
gemeinsam haben, das wird dabei auch gewährleistet.
