Untersuchen ob die Teilmenge von Vektorraum ein Unterraum ist

Question

Aufgabe:

U := {p∈ Pol_Q ; p = 0 V deg >= 3} ⊂ Pol_Q

Problem/Ansatz:

Komme nicht weiter..

Answer 1

Wenn ich es richtig verstehe, geht es darum, zu überprüfen, ob \(U\) ein Unterraum ist.

Dafür muss man zeigen, dass für alle \(\lambda\in\mathbb Q, v, w\in U\) gilt:

a) \(\lambda v\in U\)

b) \(v+w\in U\)

Dass a) erfüllt ist, sieht man relativ schnell: Ist \(\lambda=0\) oder \(v=0\), so ist auch \(\lambda v=0\) und andernfalls ist der Grad weiterhin 3. (Warum genau das gilt, lasse ich noch übrig.) In allen Fällen liegt das Ergebnis also in \(U\).

Betrachten wir nun b). Ist \(v=0\) oder \(w=0\), so ist das klar, da \(v+w=v\in U\) oder \(v+w=w\in U\) gilt. Bleibt also nur der Fall, wo \(v,w\neq 0\). Ich behaupte jetzt, dass hier nicht zwingend \(v+w\in U\) gilt. Am besten überlegt man sich, ob einem irgendwelche Polynome, z.B. mit Grad 3 einfallen, die addiert einen Grad kleiner als 3 haben, aber nicht 0 sind. Das wäre ja dann nicht in \(U\), also dies auch kein Unterraum.