Aufgabe:
\( \quad \) (i) Welche der folgenden Teilmengen des \( \mathbb{R}^{3} \) sind Unterräume? Für jede Menge, beweisen Sie entweder, dass es sich um einen Unterraum handelt, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an, das bezeugt, dass es sich nicht um einen Unterraum handelt.
(a) \( W_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}=2 x_{2}, x_{3}+x_{2}=3 x_{3}\right\} \)
(b) \( W_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x_{1}=x_{2}-4 x_{3}+1\right\} \)
(c) \( W_{3}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1} x_{2}=0\right\} \)
(d) \( W_{4}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1} x_{2} \leq 0\right\} \)
Problem/Ansatz:
Die ii) ist klar. Bei der i) ich habe gezeigt das (0,0) drinnen liegt, also erstes Kriterium bewiesen. Wie mache ich nun: m,U2 ∈ U => U1 + U2 ∈ U? Und dann auch noch das dritte Kriterium: λ∈R, u∈U => λu∈U? Wäre nett wenn mir das jemand anhand der i) zeigen könnte.
