exponentialgleichung lösen mit x im Exponenten

Question

Hallo

Wie löst man gleichungen wo man x sowohl als Faktor als auch im Exponenten hat. Z. B. 3x+1=5^x

Gibt es da ein näherungsverfahren?

LG

Answer 1

Zumindest sieht man direkt eine Lösung bei 0.

Ansonsten noch das Newtonverfahren oder Intervallschachtelung

Bringe alles auf eine Seite

5^x - 3x - 1 = 0

Wie ist das Verhalten im Unendlichen ? Kommt die Funktion aus dem Plus unendlichen und geht ins Plus unendliche? Damit erwartest du mindestens einen Tiefpunkt. Also machen wir eine kleine Wertetabelle

[-1, 2.2;
-0.8, 1.675945932;
-0.6, 1.180730787;
-0.4, 0.7253055608;
-0.2, 0.3247796636;
0, 0;
0.2, -0.2202703385;
0.4, -0.2963460612;
0.6, -0.1734721955;
0.8, 0.2238983183;
1, 1]

Du erwartest also mind. noch eine Nullstelle im Intervall 0.6 bis 0.8.

Mache jetzt eine Intervallschachtelung oder starte das Newtonverfahren mit 0.7

f(x) = 5^x - 3x - 1
f'(x) = 5^x·LN(5) - 3

new(x) = x - f(x) / f'(x)

new(0.7) = 0.7075459313
new(0.7075459313) = 0.7074331776
new(0.7074331776) = 0.7074331776

Hier ergibt das Newtonverfahren den gleichen Wert, warum man annimmt, dass es eine recht gute Näherung ist.

Answer 2

Gibt es da ein näherungsverfahren?  Ja, z.B. Newtonverfahren.

Answer 3

Gibt es da ein näherungsverfahren?

Newton z.B.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Dazu gibt es auch videos:

Answer 4

3x+1=5^x

Du faßt die linke und die rechte Seite als Funktion auf und
läßt dir von einem Plotter den Graph mit schnittpunkt anzeigen.

~plot~ 3*x + 1 ; 5^x ~plot~

x = 0 und ca x = 0.7

Answer 5

Es gibt ein exaktes Verfahren für alle 4 Ergebnisse:

3x+1=5^x ; jede Potenz ist eine Exponentialfunktion x^y = e^{log[x]*y}= exp(log[x]*y)

e^{log[5]*x}=3*x+1

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

§5 mit a=log(5), b=3, c=1

x=-LambertW(n , -a/[b*e^{a*c/b}]) /a - c/b mit n=-2...1

x=-LambertW(n,-log(5)/[3*e^{log(5)*1/3}])/log(5)-1/3

x=-(LambertW(n,-(log(5))/(3*5^{1/3})))/(log(5))-1/3

x=-LambertW[n,-log(5)/(3*5^{1/3})]/log(5)-1/3

x₁=1.6883584900627355058942095352278382735825.. +4.6238482205693652306639967983943406696149.. i

x₂=0.70743315223608817496264921910092296119886

x₃=0

x₄=1.6883584900627355058942095352278382735825.. -4.6238482205693652306639967983943406696149.. i

Probe mit 3x+1-5^x: ergibt für alle 4 Ergebnis 0 also OK!