Lineares Gleichungssystem. Stimmt: Matrix mit Rang n. ==> Ax=b hat eine Lösung?

Question

Hi

Komme bei folgenden Aussagen nicht weiter. Muss entscheiden, ob diese wahr oder falsch sind. Habe die Vermutung dass 1. wahr und 2. falsch ist.

Bin über jede Hilfe dankbar!!!

Comments

Ich habe bei Aussage 2 mir 2 Beispiele angeschaut, eine 2x3 Matrix und eine 3x4 Matrix und bin zu dem Entschluss gekommen, dass die Aussage stimmt.

Jetzt fehlt nur noch Aussage 1. Jemand nen Tipp?

Answer 1

Die erste Aussage ist richtig. A hat n Zeilen und rg(A)=n, also gibt es in jeder Zeile eine Pivotposition. Auch der rg(A')=n, weil b den Rang hier nicht beeinflusst.

Die zweite Aussage ist falsch. Stell dir die 0_n,m Matrix vor, also die Matrix, die nur 0er als Einträge hat. wenn b ≠ ^T( 0,...0) ist, also z.B. b₁=^T(1,1,1), dann gibt es überhaupt keine Lösung. rg(A)<rg(A'). Die Anzahl der Zeilen und Spalten sagt über den tatsächlichen Rang erstmal nichts aus (natürlich kann der Rang nur so groß sein, wie min{n,m})

A' ist die erweiterte Koeffizientenmatrix. (Ich schätze mal, du bearbeitest das Skript der Fernuni Hagen, da ist die Bezeichnung gleich :D)