Ableitungen und Differenzierbarkeit. f(x):= 1/x hat f'(x) = -1/x^2

Question

Ich habe leider noch keine wirkliche Idee wie ich an die verschiedenen Aufgabe herangehen soll und bräcuht ein bisschen hilfe.

Comments

Für \(x\ne0\) gilt$$\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac{\frac1{x+h}-\frac1x}{h}=\frac{-1}{x(x+h)}\xrightarrow{_{\,h\to0\,}}-\frac1{x^2}.$$

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ok, danke :)
Kann noch jemand bei b-d helfen?

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hat keiner einen Ansatz?

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b) Kannst Du bestaetigen, indem Du die Gleichung mit dem Nenner links multiplizierst und dann rechts ausmultiplizierst. Womoeglich hast Du auch schon mal eine Formel der Art \(a^n-b^n=(a-b)(\ldots)\) gesehen?

c) Da sollst Du b) anwenden! ;)

d) Da sollst Du c) anwenden! ;)

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ok. das ist ja schonmal ein Ansatz. Werd ich versuchen :)

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aber bei b) geht dein Ansatz nicht, ich da nach meiner formel ja hätte:

(a-b)=aⁿ-bⁿ* Summenzeichen

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Du sollst b) einfach durch Nachrechnen verifizieren oder es auf die altbekannte Formel $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$ zurueckfuehren.

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Aber wie soll ich das denn nachrechnen? Die Summenformel komplett aus zurechnen würde ja Jahre dauern

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Probier das mal. Das ist eine Frage von 5 Minuten.

Wenn dir das zu lange dauert, versuch es mit einem Induktionsbeweis.

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Deswegen benutzt man in der Mathematik gerne abkürzende Darstellungen wie bspw. das sogenannte Summenzeichen...

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also muss ich das dann irgendwie so machen??

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y^%28%28m-1%2Fm%29%29x^0%29*%28y^%281%2Fm%29-x^%281%2Fm%29%29