Laplace Würfel Zufallsvariable

Question

ich habe auf einem alten Aufgabenzettel eine Aufgabe entdeckt, mit der ich gar nicht mehr anfangen kann.

Kann mir dazu jemand einen Hinweis zum Lösungsweg geben? Oder wenigstens einen kleinen Ansatz?

Ein Laplace-Würfel wird n-mal nacheinander geworfen. Die Zufallsvariable Y_n ordne den Würfen die grösste Augenzahl zu. Zeigen Sie, dass gilt: lim(n → ∞) E(Y_n) = 6

Sagt dies einem Leser zufällig etwas?

Grüße

Answer 1

Die Zufallsvariable Yn sei der höchste Augenwert, der bei n Würfen mit einem Würfel aufgetreten ist.

Mache eine Wahrscheinlichkeitsverteilung

Yn	1	2	3	4	5	6
P(Yn)	1/6^n	(2^n - 1)/6^n	(3^n - 2^n)/6^n	(4^n - 3^n)/6^n	(5^n - 4^n)/6^n	(6^n - 5^n)/6^n

lim (n --> ∞) P(Yn = 6) = 1

Damit ist dann der Erwartungswert

lim (n --> ∞) E(Yn) = 6