wie berechne ich ein Taylorpolynom von f(x) = ⁵√(x)?

Question

ich muss ein Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion f: R--> R, x--> ⁵ √x

um den Entwicklungspunkt x₀=1 .

Außerdem soll ich zeigen, dass der Approximationsfehler IT₂(f)(x)-f(x)I<1/20 , für x∈(1/2, 3/2 ).

Ich weiß echt nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Über jede Hilfe würde ich mich sehr freuen.

!

Answer 1

mach erst mal die Ableitungen von f(x) = x ^1/5  

f ' (x) =  1/5 * x ^-4/5   

f ' ' (x) = -4/25 * x ^-9/5 

Dann ist das Taylorpol

T(x)= f(1)  + f '(1) * (x-1) + f ' ' (1) / 2! * ( x-1)^2

     =  1   + 1/5 * (x-1)  - (4/25) / 2! * ( x-1)^2

     =  1   + 1/5 * (x-1)  - (1/25)  * ( x-1)^2

    und das Restglied ist

 f ' ' ' (z) / 3 !  * ( x-1)^3   = 36/125 * z ^-14/5  * ( x-1)^3 mit z ∈(1/2, 3/2 ).

und 36/125 * x ^-14/5  ist streng monoton fallend, hat also in (1/2, 3/2 )

Werte kleiner als 36/125 * 0,5 ^-14/5 = 2,0057..  also  < 2.

und ( x-1)^3 symmetrisch zu (1;0) und steigend also Werte, deren Betrag  < | ( 0,5-1)^3| ist also

| ( x-1)^3| < 1/8

damit ist   |  36/125 * z ^-14/5  * ( x-1)^3 |

   <   36/125 * 2 * 1/8  | = 9/125 < 1/20.

Comments

ok danke... Kannst du deine Rechnung mir vielleicht bissel erklären?

Und sind es Fakultäten, die du da anwendest?

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Hab eine kurze Frage:

Ist y=0x-2 eine wegen der nul eine Funktion?

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hä, was hat das jetzt mit meiner Aufgabe zu tun? ich bin verwirrt. 

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Das war eine Frage für zwischendurch.

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also ich würde sagen, es ist auf jeden Fall eine Funktion und zwar die Parallele zur x -Achse. Denn zu jedem Element aus dem Definitionsbereich kann man EINEN y-Wert zuordnen . Umgekehrt wäre es eine Relation. Und nur weil man da kein x sieht , heißt es im Grunde genommen nicht, dass da auch kein x ist. Z.B. y=x⁰=1 

und nun zu meiner Aufgabe :)

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wie wäres es mit der Taylor-Formel

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ja schon klar... aber wieso endet es bei T(x)=.......f''(1)/2! *(x-1)²  und nicht zum Beispiel bei Fakultät 5!? und warum hab ich bei der 3. Ableitung z und nicht 1? und wieso ist es das Restglied?

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aber wieso endet es bei T(x)=.......f''(1)/2! *(x-1)²  u

weil es hieß:  2. Ordnung

nd wieso ist es das Restglied?

siehe dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedabsch.C3.A4tzung

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hey ich versteh deine Ende nicht also : 

und ( x-1)³ symmetrisch zu (1;0) und steigend also Werte, deren Betrag  < | ( 0,5-1)³| ist also

| ( x-1)³| < 1/8 

damit ist   |  36/125 * z ^-14/5  * ( x-1)³ |

   <   36/125 * 2 * 1/8  | = 9/125 < 1/20.

kannst du das erklären?

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geht es darum

und ( x-1)³ symmetrisch zu (1;0) und steigend also Werte, deren Betrag  < | ( 0,5-1)³| ist also

| ( x-1)³| < 1/8

 im Intervall liegt dann der kleinste Werte bei x=0,5 und der größte bei 1,5 und die
haben wegen der Symmetrie beide den gleichen Betrag. Und alle die dazwischen liegen haben einen
kleineren Betrag.