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ich muss ein Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion f: R--> R, x--> 5 √x

um den Entwicklungspunkt x0=1 .

Außerdem soll ich zeigen, dass der Approximationsfehler IT2(f)(x)-f(x)I<1/20 , für x∈(1/2, 3/2 ).

Ich weiß echt nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Über jede Hilfe würde ich mich sehr freuen.

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mach erst mal die Ableitungen von f(x) = x 1/5  

f ' (x) =  1/5 * x -4/5   

f ' ' (x) = -4/25 * x -9/5 

Dann ist das Taylorpol

T(x)= f(1)  + f '(1) * (x-1) + f ' ' (1) / 2! * ( x-1)^2

     =  1   + 1/5 * (x-1)  - (4/25) / 2! * ( x-1)^2

     =  1   + 1/5 * (x-1)  - (1/25)  * ( x-1)^2

    und das Restglied ist

 f ' ' ' (z) / 3 !  * ( x-1)^3   = 36/125 * z -14/5  * ( x-1)^3 mit z ∈(1/2, 3/2 ).

und 36/125 * x -14/5  ist streng monoton fallend, hat also in (1/2, 3/2 )

Werte kleiner als 36/125 * 0,5 -14/5 = 2,0057..  also  < 2.

und ( x-1)^3 symmetrisch zu (1;0) und steigend also Werte, deren Betrag  < | ( 0,5-1)^3| ist also

| ( x-1)^3| < 1/8

damit ist   |  36/125 * z -14/5  * ( x-1)^3 |

   <   36/125 * 2 * 1/8  | = 9/125 < 1/20.

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ok danke... Kannst du deine Rechnung mir vielleicht bissel erklären?

Und sind es Fakultäten, die du da anwendest?

Hab eine kurze Frage:

Ist y=0x-2 eine wegen der nul eine Funktion?

hä, was hat das jetzt mit meiner Aufgabe zu tun? ich bin verwirrt.

Das war eine Frage für zwischendurch.

also ich würde sagen, es ist auf jeden Fall eine Funktion und zwar die Parallele zur x -Achse. Denn zu jedem Element aus dem Definitionsbereich kann man EINEN y-Wert zuordnen . Umgekehrt wäre es eine Relation. Und nur weil man da kein x sieht , heißt es im Grunde genommen nicht, dass da auch kein x ist. Z.B. y=x0=1


und nun zu meiner Aufgabe :)

wie wäres es mit der Taylor-Formel

ja schon klar... aber wieso endet es bei T(x)=.......f''(1)/2! *(x-1)2  und nicht zum Beispiel bei Fakultät 5!? und warum hab ich bei der 3. Ableitung z und nicht 1? und wieso ist es das Restglied?

aber wieso endet es bei T(x)=.......f''(1)/2! *(x-1)2  u

weil es hieß:  2. Ordnung

nd wieso ist es das Restglied?

siehe dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedabsch.C3.A4tzung

hey ich versteh deine Ende nicht also :

und ( x-1)3 symmetrisch zu (1;0) und steigend also Werte, deren Betrag  < | ( 0,5-1)3| ist also

| ( x-1)3| < 1/8 

damit ist   |  36/125 * z -14/5  * ( x-1)3 |

   <   36/125 * 2 * 1/8  | = 9/125 < 1/20.


kannst du das erklären?

geht es darum

und ( x-1)3 symmetrisch zu (1;0) und steigend also Werte, deren Betrag  < | ( 0,5-1)3| ist also

| ( x-1)3| < 1/8

 im Intervall liegt dann der kleinste Werte bei x=0,5 und der größte bei 1,5 und die
haben wegen der Symmetrie beide den gleichen Betrag. Und alle die dazwischen liegen haben einen
kleineren Betrag.

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