mach erst mal die Ableitungen von f(x) = x 1/5
f ' (x) = 1/5 * x -4/5
f ' ' (x) = -4/25 * x -9/5
Dann ist das Taylorpol
T(x)= f(1) + f '(1) * (x-1) + f ' ' (1) / 2! * ( x-1)^2
= 1 + 1/5 * (x-1) - (4/25) / 2! * ( x-1)^2
= 1 + 1/5 * (x-1) - (1/25) * ( x-1)^2
und das Restglied ist
f ' ' ' (z) / 3 ! * ( x-1)^3 = 36/125 * z -14/5 * ( x-1)^3 mit z ∈(1/2, 3/2 ).
und 36/125 * x -14/5 ist streng monoton fallend, hat also in (1/2, 3/2 )
Werte kleiner als 36/125 * 0,5 -14/5 = 2,0057.. also < 2.
und ( x-1)^3 symmetrisch zu (1;0) und steigend also Werte, deren Betrag < | ( 0,5-1)^3| ist also
| ( x-1)^3| < 1/8
damit ist | 36/125 * z -14/5 * ( x-1)^3 |
< 36/125 * 2 * 1/8 | = 9/125 < 1/20.