Berechne das Taylorpolynom 2-ter Ordnung T_{\text {cos, }, a, 2} von \cos (x) um den Entwicklungspunkt a=\frac{\pi}{4} .

Question

Aufgabe:

(a) Berechne das Taylorpolynom 2-ter Ordnung \( T_{\text {cos, }, a, 2} \) von \( \cos (x) \) um den Entwicklungspunkt \( a=\frac{\pi}{4} \). Bestimme damit einen Näherungswert für \( \cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{10}\right) . \) Wie genau ist dieser?
(b) Berechne das Taylorpolynom 5 -ter Ordnung von \( \ln (x) \) um den Entwicklungspunkt \( a=1 . \) Was ist die maximale Abweichung bei der Approximation von \( \ln (x) \) durch \( T_{\ln , 1,5}(x) \) für \( x \in\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] ? \)

Problem/Ansatz:

Wie man das Taylorpolynom jeweils berechnet weiß ich, aber ich hab bei den beiden Teilaufgaben mit dem Näherungswert und der maximalen Abweichung der Approximation noch Probleme.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Für den Näherungswert kannst du einfach den Wert des entsprechenden Taylorpolynoms an der fraglichen Stelle nehmen, also im ersten Beispiel bei x₁ = π/4 + 1/10 .

Zur Abschätzung des dabei maximal möglichen Fehlers:

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedabschätzung