Wir betrachten eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x>-1, y>0\right\} \). Es gilt weiterhin \( f(0,1)=0 \),
$$ \begin{array}{c} \operatorname{grad}_{(x, y)} f=\left(\begin{array}{c} \ln \left(\frac{x+1}{y}\right)+\frac{x}{x+1} \\ -\frac{x}{y} \end{array}\right), \\ \operatorname{Hess}_{(x, y)} f=\left(\begin{array}{cc} \frac{x+2}{(x+1)^{2}} & -\frac{1}{y} \\ -\frac{1}{y} & \frac{x}{y^{2}} \end{array}\right) . \end{array} $$
Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2.Ordnung \( T_{2}(f) \) von \( f \) im Entwicklungspunkt \( (0,1) \).
Dann ist
$$ \left(T_{2} f\right)(x, y)=a(x-0)^{2}+0(x-0)+b(x-0)(y-1)+0(y-1)+c(y-1)^{2}+d $$
für \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \).
Bestimmen Sie \( a, b, c, d: \)
\( a= \)
\( b= \)
\( c=\)
\( d= \)