Wie bestimme ich das Taylorpolynom 2.Ordnung dieser Aufgabe?

Question

Wir betrachten eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x>-1, y>0\right\} \). Es gilt weiterhin \( f(0,1)=0 \),
$$ \begin{array}{c} \operatorname{grad}_{(x, y)} f=\left(\begin{array}{c} \ln \left(\frac{x+1}{y}\right)+\frac{x}{x+1} \\ -\frac{x}{y} \end{array}\right), \\ \operatorname{Hess}_{(x, y)} f=\left(\begin{array}{cc} \frac{x+2}{(x+1)^{2}} & -\frac{1}{y} \\ -\frac{1}{y} & \frac{x}{y^{2}} \end{array}\right) . \end{array} $$
Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2.Ordnung \( T_{2}(f) \) von \( f \) im Entwicklungspunkt \( (0,1) \).
Dann ist
$$ \left(T_{2} f\right)(x, y)=a(x-0)^{2}+0(x-0)+b(x-0)(y-1)+0(y-1)+c(y-1)^{2}+d $$
für \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \).
Bestimmen Sie \( a, b, c, d: \)
\( a= \)
\( b= \)

\( c=\)

 \( d= \)

Comments

Mein Rechenweg bis jetzt:

grad=0, hier hätte ich aber die Frage, beim gradienten ist ja das erste =0 und das zeite ebenfalls gleich 0, aber wenn beide unterschiedliche zahlen hätten, wie macht man das dann, oder her gesagt welche zahl nimmt man dann?

Zur Hessematrix habe ich \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) rausbekommen, weiter weiss ich allerdings nicht wirklich wie ich vorzugehen habe:/

Answer 1

Aloha :)

Den Funktionwert an der Stelle \((0;1)\) kennen wir$$f(0;1)=0$$Gradient und Hesse-Matrix an der Stelle \((0;1)\) bekommen wir durch Einsetzen:$$\operatorname{grad}f(0;1)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad H(0;1)=\begin{pmatrix}2 & -1\\-1 & 0 \end{pmatrix}$$Damit lautet das gesuchte Taylor-Polynom um \((0;1)\):

$$T_2f(x;y)=f(0;1)+\operatorname{grad}f(0;1)\cdot\binom{x-0}{y-1}+\frac{1}{2}\left(x-0;y-1\right)^T\cdot H(0;1)\cdot\binom{x-0}{y-1}$$$$\phantom{T_2f(x;y)}=\frac{1}{2}\left(x-0;y-1\right)^T\cdot \begin{pmatrix}2 & -1\\-1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\binom{x-0}{y-1}$$$$\phantom{T_2f(x;y)}=\frac{1}{2}\left(x-0;y-1\right)^T\cdot \begin{pmatrix}1+2x-y\\-x\end{pmatrix}=\frac12\left(x+2x^2-xy-xy+x\right)$$$$\phantom{T_2f(x;y)}=x(x-y+1)$$

Comments

wie bist du auf \( \frac{1}{2} \) gekommen?

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Der Faktor \(\frac12\) kommt aus der Taylor-Formel. Der Vorfaktor der \(n\)-ten Ableitung ist \(\frac{1}{n!}\). Die Hesse-Matrix entspricht der zweiten Ableitung, also ist der Vorfaktor des entsprechenden Terms \(\frac1{2!}=\frac12\).

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Okay und wie berechnet man jetzt \( \frac{1}{2} \) * \( \begin{pmatrix} 1+2x-y \\ -x \end{pmatrix} \) sodass \( \frac{1}{2} \) (x+2x²-xy-xy+x) rauskommt?

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Du musst die 3 Matrizen miteinander multiplizieren:

$$\frac12\begin{pmatrix}x-0 & y-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}\cdot\binom{x-0}{y-1}$$

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Dann bekommt man die Funktion ganz am Ende?

\(\phantom{T_2f(x;y)}=\frac{1}{2}\left(x-0;y-1\right)^T\cdot \begin{pmatrix}1+2x-y\\-x\end{pmatrix}=\frac12\left(x+2x^2-xy-xy+x\right)\)

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Ja genau, und das kannst du noch zusammenfassen:

$$=\frac12\left(2x+2x^2-2xy\right)=x+x^2-xy=x(1+x-y)$$