Wie bestimme ich das Taylorpolynom 2.Ordnung dieser Aufgabe?

Question

Wir betrachten eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ mit $D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x>-1, y>0\right\}$. Es gilt weiterhin $f(0,1)=0$,
$$\begin{array}{c} \operatorname{grad}_{(x, y)} f=\left(\begin{array}{c} \ln \left(\frac{x+1}{y}\right)+\frac{x}{x+1} \\ -\frac{x}{y} \end{array}\right), \\ \operatorname{Hess}_{(x, y)} f=\left(\begin{array}{cc} \frac{x+2}{(x+1)^{2}} & -\frac{1}{y} \\ -\frac{1}{y} & \frac{x}{y^{2}} \end{array}\right) . \end{array}$$
Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2.Ordnung $T_{2}(f)$ von $f$ im Entwicklungspunkt $(0,1)$.
Dann ist
$$\left(T_{2} f\right)(x, y)=a(x-0)^{2}+0(x-0)+b(x-0)(y-1)+0(y-1)+c(y-1)^{2}+d$$
für $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.
Bestimmen Sie $a, b, c, d:$
$a=$
$b=$

$c=$

 $d=$

Comments

Mein Rechenweg bis jetzt:

grad=0, hier hätte ich aber die Frage, beim gradienten ist ja das erste =0 und das zeite ebenfalls gleich 0, aber wenn beide unterschiedliche zahlen hätten, wie macht man das dann, oder her gesagt welche zahl nimmt man dann?

Zur Hessematrix habe ich $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ rausbekommen, weiter weiss ich allerdings nicht wirklich wie ich vorzugehen habe:/

Answer 1

Aloha :)

Den Funktionwert an der Stelle $(0;1)$ kennen wir$$f(0;1)=0$$Gradient und Hesse-Matrix an der Stelle $(0;1)$ bekommen wir durch Einsetzen:$$\operatorname{grad}f(0;1)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad H(0;1)=\begin{pmatrix}2 & -1\\-1 & 0 \end{pmatrix}$$Damit lautet das gesuchte Taylor-Polynom um $(0;1)$:

$$T_2f(x;y)=f(0;1)+\operatorname{grad}f(0;1)\cdot\binom{x-0}{y-1}+\frac{1}{2}\left(x-0;y-1\right)^T\cdot H(0;1)\cdot\binom{x-0}{y-1}$$$$\phantom{T_2f(x;y)}=\frac{1}{2}\left(x-0;y-1\right)^T\cdot \begin{pmatrix}2 & -1\\-1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\binom{x-0}{y-1}$$$$\phantom{T_2f(x;y)}=\frac{1}{2}\left(x-0;y-1\right)^T\cdot \begin{pmatrix}1+2x-y\\-x\end{pmatrix}=\frac12\left(x+2x^2-xy-xy+x\right)$$$$\phantom{T_2f(x;y)}=x(x-y+1)$$

Comments

wie bist du auf $\frac{1}{2}$ gekommen?

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Der Faktor $\frac12$ kommt aus der Taylor-Formel. Der Vorfaktor der $n$-ten Ableitung ist $\frac{1}{n!}$. Die Hesse-Matrix entspricht der zweiten Ableitung, also ist der Vorfaktor des entsprechenden Terms $\frac1{2!}=\frac12$.

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Okay und wie berechnet man jetzt $\frac{1}{2}$ * $\begin{pmatrix} 1+2x-y \\ -x \end{pmatrix}$ sodass $\frac{1}{2}$ (x+2x²-xy-xy+x) rauskommt?

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Du musst die 3 Matrizen miteinander multiplizieren:

$$\frac12\begin{pmatrix}x-0 & y-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}\cdot\binom{x-0}{y-1}$$

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Dann bekommt man die Funktion ganz am Ende?

$\phantom{T_2f(x;y)}=\frac{1}{2}\left(x-0;y-1\right)^T\cdot \begin{pmatrix}1+2x-y\\-x\end{pmatrix}=\frac12\left(x+2x^2-xy-xy+x\right)$

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Ja genau, und das kannst du noch zusammenfassen:

$$=\frac12\left(2x+2x^2-2xy\right)=x+x^2-xy=x(1+x-y)$$