Berechnen Sie das skalare Oberflächenintegral

Question

Aufgabe 2 (8 Punkte) Gegeben sei die Fläche

$$ F:=\left\{(x, y, x y) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} $$
und die Funktion \( h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$ h(x, y, z)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}+\left(z^{2}-x y z\right)^{2} . $$
Berechnen Sie das skal are Oberflächenintegral \( \int \limits_{F} h d S \).

Problem/Ansatz:

Ich benötige zu dieser Aufgabe eine Lösung wenn das möglich wäre.

Answer 1

Hallo,

der Aufgabensteller wollte euch einfach ein wenig ärgern...

Ich denke, dass das gemeint ist:

\(F\) ist der Graph von \(f : B_1(0)\to \mathbb{R},\, z=(x,y)\mapsto xy\).

Kontrolle:

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$$\begin{aligned} \iint\limits_{F} h \, \operatorname{d}\sigma&= \iint\limits_{B_1(0)}(1+x^2+y^2)+\underbrace{((xy)^2-(xy)^2)^2}_{=0}\sqrt{1+x^2+y^2}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\  &=\int \limits_{0}^{2\pi}\int \limits_{0}^{1}(1+r^2)r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\varphi=\frac{3\pi}{2} \end{aligned}$$

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Comments

Danke für deine Antwort!

Wäre es eventuell möglich das du deine gedankengänge mit mir teilst bei dieser aufgabe? tue mich schwer die parametrisierung zu verstehen das schlussendliche integral zu berechnen ist kein problem für mich auch nicht das einsetzen von zylinderkoordinaten oder ähnliches.

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Die Menge \(F:=\left\{(x, y, x y) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \) ist ja etwas seltsam angegeben, weil in der \(z\)-Komponente \(xy\) steht. Das ist aber eine etwas versteckt-aufgeschriebene Variablentransformation, also fortan soll \(z=xy\) sein. Du kannst \(F\) also schreiben als:$$F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=xy\, \land \, 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$$ Du kannst dann einen funktionalen Zusammenhang herstellen, so wie ich das getan habe mit \(z(x,y)=xy\). Da sich \(x\) und \(y\) nur auf dem Einheitskreis befinden dürfen, schränke ich den Definitionsbereich von \(z\) auf \(B_1(0)\) ein. Dann geht's so weiter wie hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Oberfl%C3%A4chenintegral#Beispiel_2:_Explizite_Darstellung_2

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\(F\) ist die Bildmenge von \(f : B_1(0)\to \mathbb{R},\, z=(x,y)\mapsto xy\)

F ist der Graph von f, nicht die Bildmenge. Ändert aber nichts an der Lösung :)

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Stimmt......

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okay danke sehr!