Extrempunkte einer e Funktion bestimmen

Question

Funktion
x² +e^-xwie bestimme ich dort die extrempunkte

Answer 1

Ableitung bilden und Nullsetzen

f(x) = x^2 + e^{-x}

f'(x) = 2·x - e^{-x} = 0

Das jetzt mit einem Näherungsverfahren lösen. Ich erhalte: x = 0.3517337143

Das jetzt noch in f(x) Einsetzen um auch die y-Koordinate zu bekommen. Dann noch schauen was das für ein Extrempunkt sein muss. Es langt wenn man weiß das die Funktion von plus unendlich nach plus unendlich verläuft. Dann muss der Extrempunkt ein Tiefpunkt sein.

Comments

wie macht man das zb bei x² *e^-x

---

f(x) = x^2·e^{-x}

Jetzt Ableiten mit Produkt und Kettenregel und dann auch Null setzen

f'(x) = x·(2 - x)·e^{-x}

Nullstellen sind hier nach dem Satz vom Nullprodukt bei x = 0 und x = 2. Die dann einfach in die Funktion einsetzen und auch die y-Koordinate bestimmen.

Zur Kontrolle kann man es auch zeichnen:

 ~plot~x^2*e^{-x}~plot~

Answer 2

2x-e^{-x}= 0 |*e^x

2xe^x-1 = 0

2x*e^x = 1

xe^x= 1/2

Diese Gleichung kannst du nur numerisch lösen (z.B. Newton-Verfahren)  oder mit dieser Funktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion