Funktionenschar einer gebrochen rationalen Funktion

Question

Gegeben ist die Funktionenschar f_a durch f_a(x)=(ax²-1)/(x²-a)

Bestimme die maximale Definitionsmenge von f_a.

Untersuche Art und Lage der Definitionslücken in Abhängigkeit von a.

Answer 1

f_a(x)=(ax²-1)/(x²-a)

maximale Definitionsmenge D_max =  ℝ \ M   mit  M =   { Nullstellen des Nenners }

M ist abhängig vom Vorzeichen von a:

x² - a = 0

a > 0    M = { ± √a }   →   D_max =  ℝ \  { ± √a }   

a = 0    M = { 0 }         →   D_max =  ℝ \  { 0 }

a < 0     M = ∅              →  D_max =  ℝ 

Art und Lage der Definitionslücken:

a > 0       f_a(x) =  (√a•x - 1) • √a•x + 1) / [ (x-1) • (x+1) ]

für a = 1 hat man "stetig behebbare" Lücken . Der Graph ist der von  f(x)=1 mit zwei Lücken bei x = ±1

sonst die beiden Polstellen x = ± 1   mit Vorzeichenwechsel.

a = 0  

f₀(x) = -1/x²    Polstelle x=0    ohne Vorzeichenwechsel

 a < 0  keine Definitionslücken

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für den Aufwand. Das war mir eine große Hilfe. Gruß Heiko