Lieber Fragesteller if 1788 ,
Schlag fertig wäre gewesen, wenn es mir gleich eingefallen wäre. Von ===> Eigenwerten sprach ich in meiner ersten Antwort. In Frankfurt bekamen wir schon gesagt, wo der Hammer hängt; bereits im ersten Semester verlangte mein Assistent, dass ich die Aufgaben aus dem Übungsblatt mit Eigenwerten rechne. Den folgenden Lösungsweg nimm bitte als Musterlösung deiner Aufgabe; er ist schon mehr als nur ein möglicher Weg unter vielen. Ausgangspunkt sollen diesmal ( 2.1ab ) aus meiner letzten Antwort sein; meiner gewohnten Systematik gemäß habe ich den Gleichungen ein " Zwei Punkt " voran gestellt für " 2 = zweite Antwort " Ich zitiere sie hier; alles was neu dazu kommt, wird dann " Drei Punkt "
2 ( k + 1 ) x + k y = 0 ( 2.1a )
k x + 2 ( k + 1 ) y = 0 ( 2.1b )
Wie du siehst, habe ich eine Umordnung vorgenommen. Jetzt auf einmal wird klar, dass es sich um ein homogenes LGS handelt mit den beiden Unbekannten x und y . D.h. wie üblich bei einem LGS , habe ich jeweils alle Terme mit x bzw. y zusammen gefasst; die Koeffizienten der beiden Unbekannten bilden die ===> Koeffizientenmatrix ( KM )
Jetzt wirst du denken; ein LGS lösen, das kannst du doch. Doch dieses LGS ist ja homogen; rechts steht Null. Was soll denn da anders raus kommen als x = y = 0 ? Das müsste es auch, wenn du Recht hättest mit deiner Erwartung, dass die Lösung eines LGS immer eindeutig ist.
Eine Ausnahme von dieser Regel liegt vor, wenn das LGS ===> linear abhängig ist; und das ist genau dann der Fall, wenn die ===> Determinante der KM verschwindet.
Genau so erzählte uns das der Assistent. Die Mathematikstudenten waren hier eindeutig im Vorteil; die hatten da wenigstens schon mal von gehört. Auf meine Frage, was denn das sei, eine Matrix bzw. Determinante, beschied mich eine " alternative " Studentin
" Die Matrix ist das Ding mit den runden Klammern; und die Determinante hat senkrechte Striche. Weißt du das immer noch nicht? Und jetzt hol ich mir erst mal'ne Cola ... "
Sich eigenmächtig aus der Übungsgruppe entfernen - das gehe nun gar nicht, meinte der Assistent.
Meine Wissenslücken vertagte ich auf die AGULA Vorlesung; die war versprochen für das 3. / 4. Semester. Aber bereits in den Semesterferien nach dem ersten Semester arbeitete ich die Übungsaufgaben aus den schlauen Büchern durch - doch; provisorisch ließ sich sogar ganz gut damit leben.
Also helf ich dir auf die Sprünge. Stell dir einfach vor, die Determinante ist definiert als Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden Zeilen-bzw. spaltenvektoren der KM aufgespannt wird. Und wenn diese beiden Vektoren ===> kollinear sind, entartet besagtes Parallelogramm zu einem Strich; und sein Flächeninhalt verschwindet.
Ich wäre froh gewesen, wenn mir das im ersten Semester Einer so gesagt hätte ( Die werden es ja nicht mal selber gewusst haben; Aktion Sokrates. )
Wichtig für dich wird nun die Regel von ===> Sarrus, wie man eine Determinante berechnet.
det = Hauptdiagonale(n) - Nebendiagonale(n) ( 3.1a )
= 4 ( k + 1 ) ² - k ² = 0 ( 3.1b )
( 3.1b ) heißt ===> charakteristische Gleichung des LGS ( 2.1ab ) ; ihre Wurzeln sind die Eigenwerte von ( 2.1ab )
( 3.1b ) ist ja eine quadratische Gleichung. Mal Hand aufs Herz: wie würdest du die lösen? Ihr alle könnt nix wie Klammern auflösen und Mitternachtsformel - oder? Oder??
Setz doch mal
a := 2 ( k + 1 ) ; b := k ( 3.2 )
Dann nämlich steht in ( 3.1b ) die 3. binomische " a ² - b ² " ; und das faktorisiert in der Form " ( a + b ) ( a - b ) "
[ 2 ( k + 1 ) + k ] [ 2 ( k + 1 ) - k ] = 0 = ( 3.3a )
= ( 3 k + 2 ) ( k + 2 ) = 0 ( 3.3b )
Den Satz vom ===> Nullprodukt kennst du; es muss mindestens eine Klammer verschwinden.
k + 2 = 0 ===> k1 = ( - 2 ) ( 3.4a )
3 k + 2 = 0 ===> k2 = ( - 2/3 ) ( 3.4b )
Jetzt k1 einsetzen in ( 2.1ab )
- 2 ( x + y ) = 0 ===> x + y = 0 ( 3.5a )
jetzt k2
2/3 ( x - y ) = 0 ===> x = y ( 3.5b )
