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Aufgabe:

Es soll der kleinste Abstand zwischen einem Punkt P1(x0,0) mit 0 ≤ x0 ≤ 2 auf der positiven x-Achse und einem Punkt P2(x,y) auf der Ellipse mit x2/4 + y2 = 1 bestimmt werden.


Problem/Ansatz:

Ich hatte mir überlegt erst die kritischen Punkte der Abstandsfunktion zwischen den Punkten P1 und P2 zu bestimmen und in diese dann die Nebenbedingung der Ellipse für x und y einzusetzen. Wäre das eine Möglichkeit?

Avatar von

Hallo
was soll denn variiert werden x0? dann ist doch der kleinste Abstand einfachbei x0=x  und der Abstand ist y , da x0 ja innerhalb der Ellipse liegt.
Gruß lul

Ich denke, dass vielmehr zu jedem festen P1 der Punkt P2 mit minimalem Abstand zu P1 gesucht wird, also P2 als Funktion von x0.

Ja genau x0 soll in dem vorgegebenen Intervall variiert werden und entsprechend sollte dann der Punkt mit dem minimalen Abstand auf der Ellipse von x0 abhängen. x = x0 geht nicht, da auf der Ellipse liegen muss.

2 Antworten

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Hallo,

der Punkt (x,y) auf der Ellipse , der von x0 den Kleinsten Abstand hat ist entweder (2,0) oder  die 2 Ellipsenpunkte mit der x-Koordinate x0

also x0>1,2 (2,0) ist der nächste Punkt ;  x<1,2  , (x0,±√(1-x0^2/4) sind die nächsten Punkte

lul

Avatar von 108 k 🚀

die 2 Ellipsenpunkte mit der x-Koordinate x0

Das trifft nicht zu.

Ich würde auch sagen, dass das so nicht stimmen kann.

@D : Dein Ansatz war völlig richtig. Verfolge ihn weiter und füge am Schluss eine Korrektur ein.

Hallo gast hj

kannst du sagen, warum das nicht zutrifft?

lul

Für P1 =(1,2|0) gilt für P2a = (1,2|0,8), dass d = √0,64 ist und auch für P2b = (2|0), dass d = √0,64 ist, aber für P2c =  (1,8|√0,19), wird d = √0,55, was kleiner ist und sogar noch nicht einmal das Minimum.

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Unbenannt.JPG

\(d^2=(x_0-x)^2+y^2\) soll minimal werden.   \( y^2=1-0,25x^2\)

\(d^2(x)=(x_0-x)^2+1-0,25x^2\)

\( \frac{d^2(x)}{dx}=2(x_0-x)\cdot(-1) -0,5x\)

\( 2(x_0-x)\cdot(-1) -0,5x=0\)

\( -2x_0+2x -0,5x=0\)

\( 1,5x=2x_0\)

\( x=\frac{4}{3}x_0\)

Wenn ich ich mir die Zeichnung anschaue, müsste aber \(x=x_0\) sein.

Wo steckt der Fehler?

Avatar von 40 k
Wo steckt der Fehler?

in der Zeichnung, bzw. in Deiner Vorstellung, wenn Du dieselbe betrachtest.

Meine Zeichnung sieht so aus:


\(P_1\) lässt sich verschieben.

\(x=\frac{4}{3}x_0\) ist korrekt. Ansonsten ist noch der Fall zu betrachten, wenn \(P_1\) dem Punkt \((2,0)\) zu nahe kommt.

Danke dir für deine Erklärung!

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